知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=|x²-1|+（k+4）x，g（x）=x²-4x．
（1）若函数f（x）的图象过点（1，0），求k的值；
（2）若函数y=g（x）（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7-2t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（区间[p，q]的长度为q-p）；
（3）若关于x的方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上有两个不同的x₁，x₂解，求k的取值范围．

难度：中等

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2． f（x）是定义在R上函数，满足f（x）=f（-x）且x≥0时，f（x）=x³，若对任意的x∈[2t-1，2t+3]，不等式f（3x-t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．

难度：中等

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3．如果定义在R上的函数f（x），对任意的x∈R，都有f（-x）≠-f（x），则称该函数是“β函数”．
（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2^x；②y=2x+1； ③y=x²-2x-3，是否为“β函数”？（直接写出结论）
（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“β函数”，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）已知f（x）=
x2+1，x∈A
x，x∈B
是“β函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．

难度：中等

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4．方程2^x=10﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=

难度：中等

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5．已知函数f（x）=|x|+|2﹣x|，若函数g（x）=f（x）﹣a的零点个数不为0，则a的取值范围是

难度：中等

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6．已知函数f（x）= $\text{[math]}$ 的图象与直线y=x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1]

B．[﹣1，2）

C．[﹣1，2]

D．[2，+∞）

难度：中等

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7．设函数f（x）=a^x+b^x﹣c^x ，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是
①对任意x∈（﹣∞，1），都有f（x）＜0；
②存在x∈R，使a^x ， b^x ， c^x不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，存在x∈（1，2）使f（x）=0．

难度：中等

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8．定义在区间[x₁ ， x₂]长度为x₂﹣x₁（x₂＞x₁），已知函数f（x）= $\text{[math]}$ （a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最长长度时a的值是

难度：中等

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9．对于函数y=f（x），若在其定义域内存在x₀ ，使得x₀•f（x₀）=1成立，则称x₀为函数f（x）的“反比点”．下列函数中具有“反比点”的是
①f（x）=﹣2x+2 $\text{[math]}$ ； ②f（x）=sinx，x∈[0，2π]；
③f（x）=x+ $\text{[math]}$ ， x∈（0，+∞）；④f（x）=e^x； ⑤f（x）=﹣2lnx．

难度：中等

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10．定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x₀ ，有f（x₀）=x₀ ，则称x₀是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．
（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围.

难度：中等

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