知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．定义在区间[x₁，x₂]长度为x₂-x₁（x₂＞x₁），已知函数f（x）=
(a2+a)x-2
a2x
（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最长长度时a的值是．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=a（x-1）²-lnx，g（x）=
ex
ex
，若对任意的x₀∈（0，e]，总存在两个不同的x₁，x₂∈（0，e]，使得f（x₁）=f（x₂）=g（x₀）．则实数a的取值范围为．

难度：较难

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5．已知函数f(x)=sin2x-sin2(x-
π
6
)，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）若关于x的方程2f（x）-m+1=0在区间[-
π
3
，
π
4
]上有两个相异的实根，求m的取值范围．

难度：中等

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6．已知函数f（x）的定义域D⊆（0，+∞），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．
（1）判断g（x）=sinx，x∈（0，π）是否为“保三角形函数”，并说明理由；
（2）证明：函数h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“保三角形函数”；
（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是“保三角形函数”，求实数λ的最大值．

难度：较难

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7．设函数f（x）=|f₁（x）-f₂（x）|，其中幂函数f₁（x）的图象过点（2，
2
），且函数f₂（x）=ax+b（a，b∈R）．
（1）当a=0，b=1时，写出函数f（x）的单调区间；
（2）设μ为常数，a为关于x的偶函数y=log₄[（
1
2
）^x+μ•2^x]（x∈R）的最小值，函数f（x）在[0，4]上的最大值为u（b），求函数u（b）的最小值；
（3）若对于任意x∈[0，1]，均有|f₂（x）|≤1，求代数式（a+1）（b+1）的取值范围．

难度：较难

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8．设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍是A，那么称x=g（x）是函数y=f（x）的一个等值域变换．
（1）已知函数f（x）=x²-x+1，x∈B，x=g（t）=log₂t，t∈C．
1°若B，C分别为下列集合时，判断x=g（t）是不是函数y=f（x）的一个等值域变换：①B=R，C=（1，+∞）；②B=R，C=（2，+∞）
2°若B=[0，4]，C=[a，b]（0＜a＜b），若x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换，求a，b满足的条件；
（2）设f（x）=log₂x的定义域为x∈[2，8]，已知x=g（t）=
mt2-3t+n
t2+1
是y=f（x）的一个等值域变换，且函数y=f[g（t）]的定义域为R，求实数m，n的值．

难度：较难

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9．已知f（x）=ln（1-x）-ln（1+x）．
（Ⅰ）指出函数f（x）的定义域并求f(-
1
3
)，f(-
1
2
)，f(
1
2
)，f(
1
3
)的值；
（Ⅱ）观察（Ⅰ）中的函数值，请你猜想函数f（x）的一个性质，并证明你的猜想；
（Ⅲ）解不等式：f（1+x）+ln3＞0．

难度：中等

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10．若函数f（x）=（2x²-ax-6a²）•ln（x-a）的值域是[0，+∞），则实数a= ．

难度：较难

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