知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．对于函数f（x），如果f（x）可导，且f（x）=f'（x）有实数根x，则称x是函数f（x）的驻点．若函数g（x）=x²（x＞0），h（x）=lnx，φ（x）=sinx（0＜x＜π）的驻点分别是x₁，x₂，x₃，则x₁，x₂，x₃的大小关系是（用“＜”连接）．

难度：中等

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2．设函数f（x）=x^α+1（α∈Q）的定义域为[-b，-a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函数f（x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间[-b，-a]上的最大值与最小值的和为．

难度：较难

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3．设二次函数f（x）=x²+ax+a．
（1）若方程f（x）-x=0的两实根x₁和x₂满足0＜x₁＜x₂＜1．求实数a的取值范围．
（2）求函数g（x）=af（x）-a²（x+1）-2x在区间[0，1]上的最小值．

难度：中等

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4．定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意x∈（0，+∞），f[f（x）-log₂x]=3成立，若方程f（x）-f'（x）=2的解在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k= ．

难度：较难

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5．若在定义域内存在实数x₀使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立则称函数f（x）有“溜点x₀”
（1）若函数f(x)=(
1
2
)x+mx2在（0，1）上有“溜点”，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）=lg（
a
x2+1
）在（0，1）上有“溜点”，求实数a的取值范围．

难度：中等

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6．设函数f（x）=ax³-3ax，g（x）=bx²-lnx（a，b∈R），已知它们在x=1处的切线互相平行．
（1）求b的值；
（2）若函数F(x)=
f(x)，x≤0
g(x)，x＞0
，且方程F（x）=a²有且仅有四个解，求实数a的取值范围．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=
1
4
（m-3x）在[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（参考数据：e=2.71 828…）
（Ⅲ）设常数p≥1，数列{a_n}满足a_n+1=a_n+ln（p-a_n）（n∈N^*），a₁=lnp，求证：a_n+1≥a_n．

难度：较难

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8．定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2k）（k∈Z），且当x∈（0，1）时，f(x)=
2x
4x+1
．
（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（Ⅱ）当m取何值时，方程f（x）=m在（0，1）上有解？

难度：中等

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9．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）
（1）在极坐标系中，若过点（1，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=
（2）已知方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有实数解，则a的取值范围为．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=
1
3
x³+
1
2
ax²+bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行．
（1）求实数a的取值范围．
（2）是否存在实数a，使得f′（x）=x的两个根x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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