选修\(4-5\)：不等式选讲

在单调递增的等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{3}},{{a}_{7}},{{a}_{15}}\)成等比数列，前\(5\)项之和等于\(20\) ．

\((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{2}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}\)，记数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{T}_{n}}\)，求使\({{T}_{n}}\leqslant \dfrac{24}{25}\)成立的\(n\)的最大值．

设函数\({f}^{,}\left(x\right) \)是奇函数\(f(x)(x{∈}R)\)的导函数，\(f({-}1){=}0\)，当\(x{ > }0\)时，\(x{f}^{,}\left(x\right) -f\left(x\right) > 0\) ，则使得\(f(x){ > }0\)成立的\(x\)的取值范围是\((\)　　\()\)

已知\(f(x)\)，\(g(x)\)都是定义在\(R\)上的函数，\(g(x)\neq 0\)，\(f(x)g{{'}}(x) > f{{'}}(x)g(x)\)，\(f(x)={a}^{x}·g(x)(a > 0,a\neq 0) \)，\( \dfrac{f(1)}{g(1)}+ \dfrac{f(-1)}{g(-1)}= \dfrac{5}{2} \)，在有穷数列\(\{ \dfrac{f(n)}{g(n)}\}(n=1,2⋯10) \)中，任意取正整数\(k(1\leqslant k\leqslant 10) \)，则前\(k\)项和大于\( \dfrac{15}{16} \)的概率是__________．

设命题\(p\)：实数\(x\)满足\({{x}^{2}}-4ax+3{{a}^{2}} < 0\)，其中\(a > 0\)；命题\(q\)：实数\(x\)满足\(\dfrac{x-3}{x-2}\leqslant 0\)．

\((1)\)若\(a=1\)且\(p\wedge q\)为真，求实数\(x\)的取值范围；

\((2)\)若\(\neg p\)是\(\neg q\)的充分不必要条件，求实数\(a\)的取值范围．

已知关于\(x \)的一元二次函数\(f(x)=a{x}^{2}+bx+2 \)。

\((1)\)若\(a=-12,b=-2\)，求不等式\(f(x) > 0 \)的解集；

\((2)\)当\(b=-1\)时，若不等式\(f(x) < 0\)解集为\(\Phi \)，求\(a\)的取值范围。

已知关于\(x \)的一元二次函数\(f(x)=a{x}^{2}+bx+2 \)。

\((1)\)若\(a=-12,b=-2\)，求不等式\(f(x) < 0 \)的解集；

\((2)\)当\(b=-1\)时，若不等式\(f(x) < 0\)解集为\(\Phi \)，求\(a\)的取值范围。

\((1)\)不等式\(\dfrac{1}{x} < 1\)的解集是________．

\((2)\)已知\(a\)，\(b\)是互异的正数，\(A\)是\(a\)，\(b\)的等差中项，\(G\)是\(a\)，\(b\)的正的等比中项，则\(A\)________\(G( > , < ,\geqslant ,\leqslant \)选填其中一个\()\)．

\((3)\)已知\(\sin (60{}^\circ +\alpha )=\dfrac{5}{13}\)，\(30^{\circ} < a < 120^{\circ}\)，则\(\cos α=\)________．

\((4)\)如图在正方体\(ABCD—A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，给出以下结论

\(①A_{1}C_{1}\)与平面\(A_{1}B_{1}CD\)成\(45^{\circ}\)角；

\(②CD_{1}\)与\(BC_{1}\)成\(60^{\circ}\)角；

\(③{{V}_{B1}}_{-{{A}_{1}}B{{C}_{1}}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{B}}{{_{1}}_{-A{{D}_{1}}C}}\)；

\(④\)正方体的内切球，与各条棱相切的球，外接球的表而积之比为\(1︰2︰3\)其中正确的结论序号是________\(.(\)写出所有正确结论的序号\()\)