知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品，已知生产1吨A产品，1吨B产品分别需要的甲、乙原料数，每种产品可获得的利润数及该厂现有原料数如表所示．
产品
所需原料
原料 A产品
（1吨） B产品
（1吨）现有原料
（吨）
甲原料（吨） 4 5 200
乙原料（吨） 3 10 300
利润（万元） 7 12
问：在现有原料下，A、B产品应各生产多少吨才能使利润总额最大？利润总额最大是多少万元？

难度：中等

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2．已知函数f(x)=|x-a|+|x-
1
2
|，x∈R
（Ⅰ）当a=
5
2
时，解不等式f（x）≤x+10；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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3．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．
（1）若ab≤m恒成立，求m的取值范围；
（2）若
1
a
+
1
b
≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范围．

难度：中等

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4．（Ⅰ）设不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．　证明：|
1
3
a+
1
6
b|＜
1
4
；
（Ⅱ）若函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|，关于x的不等式f（x）-log₂（a²-3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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5．已知f（x）=|x-3|，g（x）=|x-k|（其中k≥2）．
（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；
（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）-g（x）≥k-x恒成立，求实数k的值．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=lnx-kx+1．
（1）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（2）证明：
ln2
3
+
ln3
8
+
ln4
15
+…
lnn
n2-1
+（1+
1
n
）ⁿ＜
n2+n+10
4
（n∈N^*且n＞1）．

难度：较难

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7．已知f（x）=|
3
4
-
1
2
x|-|
5
4
+
1
2
x|
（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a²-3a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）+f（n）=4，且m＜n，求m+n的取值范围．

难度：较难

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8．（1）解不等式：|x-1|+|x-2|≤2．
（2）求函数y=x
1-x2
(0＜x＜1)的最大值．

难度：中等

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9．若-1＜a＜b＜0．试比较
1
a
，
1
b
，a²，b²的大小．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=|x-a|，其中a＞1．
（Ⅰ）当a=2时，求不等式
f(x-2)-f(x+1)
f(x-1)-f(x)
＜
f(x-1)+f(x)
f(x-2)
的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．

难度：中等

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产品所需原料原料	A产品（1吨）	B产品（1吨）	现有原料（吨）
甲原料（吨）	4	5	200
乙原料（吨）	3	10	300
利润（万元）	7	12