知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．设集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|m-1≤x≤2m+1}，已知B⊆A．
（1）当x∈N时，求集合A的子集的个数；
（2）求实数m的取值范围．

难度：较易

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2．已知方程x²+ax+b=0．
（1）若方程的解集只有一个元素，求实数a，b满足的关系式；
（2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值．

难度：易

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3．已知集合A={x∈R|ax²+2x+1=0}，其中a∈R．
（1）若 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ∈A，用列举法表示A；
（2）若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B．

难度：较易

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4．
对于函数$f(x)$，$g(x)$，记集合$D_{f > g}=\{x|f(x) > g(x)\}$．
$(1)$设$f(x)=2|x|$，$g(x)=x+3$，求$D_{f > g}$；
$(2)$设$f_{1}(x)=x-1$，$f_{2}(x)=( \dfrac {1}{3})^{x}+a\cdot 3^{x}+1$，$h(x)=0$，如果$D_{f_{1} > h}∪D_{f_{2} > h}=R.$求实数$a$的取值范围．

难度：中等

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5．
对于正整数集合$A=\{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}}\}$ $($$n\in {{N}^{*}}$ ，$n\geqslant 3$ $)$，如果去掉其中任意一个元素${{a}_{i}}$ $($$i=1,2,\cdots ,n$ $)$之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合$A$ 为“和谐集”．
$($Ⅰ$)$判断集合$\{1,2,3,4,5\}$ 是否是“和谐集”$($不必写过程$)$；
$($Ⅱ$)$求证：若集合$A$ 是“和谐集”，则集合$A$ 中元素个数为奇数；

$($Ⅲ$)$若集合$A$是“和谐集”，求集合$A$中元素个数的最小值．

难度：中等

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6．
对于正整数集合$A=\{a_{1},a_{2},…,a_{n}\}(n∈N^{*}$，$n\geqslant 3)$，如果去掉其中任意一个元素$a_{i}(i=1,2,…,n)$之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合$A$为“和谐集”．
$($Ⅰ$)$判断集合$\{1,2,3,4,5\}$是否是“和谐集”$($不必写过程$)$；
$($Ⅱ$)$求证：若集合$A$是“和谐集”，则集合$A$中元素个数为奇数；
$($Ⅲ$)$若集合$A$是“和谐集”，求集合$A$中元素个数的最小值．

难度：中等

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7．
设集合$S=\{1,2,3,…,n\}(n\geqslant 5$，$n∈N^{*})$，集合$A=\{a_{1},a_{2},a_{3}\}$满足$a_{1} < a_{2} < a_{3}$且$a_{3}-a_{2}\leqslant 2$，$A⊆S$
$(1)$若$n=6$，求满足条件的集合$A$的个数；
$(2)$对任意的满足条件的$n$及$A$，求集合$A$的个数．

难度：中等

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8．
已知集合$A=\{a_{1},a_{2},…a_{n}\}(n∈N^{*})$，规定：若集合$A_{1}∪A_{2}∪…∪A_{m}=A(m\geqslant 2,m∈N^{*})$，则称$\{A_{1},A_{2},…,A_{m}\}$为集合$A$的一个分拆，当且仅当：$A_{1}=B_{1}$，$A_{2}=B_{2}$，$…A_{m}=B_{m}$时，$\{A_{1},A_{2},…,A_{m}\}$与$\{B_{1},B_{2},…,B_{m}\}$为同一分拆，所有不同的分拆种数记为$f_{n}(m).$例如：当$n=1$，$m=2$时，集合$A=\{a_{1}\}$的所有分拆为：$\{a_{1}\}∪\{a_{1}\}$，$\{a_{1}\}∪\varnothing $，$\varnothing ∪\{a_{3}\}$，即$f_{1}(2)=3$．
$(1)$求$f_{2}(2)$；
$(2)$试用$m$、$n$表示$f_{n}(m)$；
$(3)$证明：$ \sum\limits_{i=1}^{m}f_{n}(i)$与$m$同为奇数或者同为偶数$($当$i=1$时，规定$f_{n}(1)=1)$

难度：较易

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9．已知集合A={x|x=m²-n²，m、n∈Z}
（1）判断8，9，10是否属于集合A；
（2）已知集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，证明：“x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”；
（3）写出所有满足集合A的偶数．

难度：较易

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10．已知集合A={x|2^x＞8}，B={x|x²-3x-4＜0}．
（1）求A，B；
（2）设全集U=R，求（∁_UA）∩B．

难度：较易

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