知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=lnx-（1+a）x²-x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜-
lnx
x
-（1+a）x²-a+1．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）当0＜a＜1时，求证：函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；
（2）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（3）对于任意x₁，x₂∈[-1，1]都有，|f（x₁）-f（x₂）≤e-1，试求a的取值范围．|

难度：中等

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3．已知函数f（x）=a+
x
lnx（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

难度：中等

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4．函数f（x）=（x-a）²（x+b）e^x（a，b∈R）．
（1）当a=0，b=-3时．求函数f（x）的单调区间；
（2）若x=a是f（x）的极大值点．
（i）当a=0时，求b的取值范围；
（ii）当a为定值时．设x₁，x₂，x₃（其中x₁＜x₂＜x₃））是f（x）的3个极值点，问：是否存在实数b，可找到实数x₄，使得x₄，x₁，x₂，x₃成等差数列？若存在求出b的值及相应的x₄，若不存在．说明理由．

难度：较难

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5．求函数f（x）=x²e^2x单调区间及极值．

难度：较易

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6．已知函数f（x）=lnx-x
（1）求函数g（x）=f（x）-x-2的图象在x=1处的切线方程
（2）证明：|f(x)|＞
lnx
x
+
1
2

（3）设m＞n＞0，比较
f(m)-f(n)
m-n
+1与
m
m2+n2
的大小，并说明理由．

难度：较难

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7．已知f（x）=e^x-ax．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值集合；
（2）若方程f（x）=a（lnx-x+1）（a＞0）有两个不等的实数根，x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），求证：
1
a
＜x₁＜1＜x₂＜a．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=xlnx-k（x-1），k∈R．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间．
（2）若函数y=f（x）在区间（1，+∞）上有1个零点，求实数k的取值范围．
（3）是否存在正整数k，使得f（x）+x＞0在x∈（1，+∞）上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．

难度：中等

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9．己知定义在R上的奇函数f（x）的图象为一条连续不断的曲线，f（1+x）=f（1-x），f（1）=a，且0＜x＜1时，f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）＜f（x），则f（x）在[2015，2016]上的最大值为．

难度：中等

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10．）已知函数f（x）=lnx+
a
x-1
（α∈R）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数f（x）在（0，
1
e
）内有极值．
①求实数α取值范围：
②若x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）求证：f（x₂）-f（x₁）＞e+2-
1
e
．

难度：中等

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