知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=e^x-a（x-1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2]上存在唯一零点，求a的取值范围．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=x²+alnx
（1）当a=-8时，求函数的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）+
2
x
在[2，+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=
x
a
-e^x（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[1，2]上的最大值．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=x+alnx，g（x）=f（x）+
1
2
x2-bx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（3）在（2）的条件下，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数g（x）的两个极值点，记t=
x1
x2
，若b≥
13
3
，t的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=（a-1）x+xlnx在点（1，f（1））处的切线斜率为1．
（Ⅰ）求g（x）=
f(x)
x-1
的单调区间；
（Ⅱ）若m＞n＞1，求证：
m n
n m
＞
n
m
．

难度：较难

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6．（2016•德阳模拟）已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．
x -1 0 4 5
f（x） 1 2 2 1
下列关于函数f（x）的命题：
①函数y=f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．
其中所有真命题的序号为．

难度：中等

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7．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（-∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（-x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x-1）的实数x的取值范围是．

难度：中等

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8．设函数f（x）=x³+ax²+bx的图象与直线y=-3x+8相切于点P（2，2）．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=lnx，g（x）=alnx-
1
2
x²，h（x）=
1
2
x²．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）对于函数f（x）与h（x）定义域内的任意实数x，若存在直线y=kx+b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的分界线，求证：直线y=x-
1
2
为函数f（x）与h（x）的分界线．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=（m²+m）x m2-2m-1（m∈R），分别求m的取值范围．
（1）f（x）为正比例函数；
（2）f（x）为反比例函数；
（3）f（x）在（0，+∞）上为增函数．

难度：中等

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x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1