知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
x-1
ex-1
（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）已知函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4-x），证明当x＞2时，f（x）＞g（x）；
（3）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明x₁+x₂＞4．

难度：中等

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2．设函数g（x）=e^x+2x-a（a∈R，e为自然对数底数），定义在R上函数f（x）满足：f（-x）+f（x）=x²，且当x＜0时，f′（x）＜x，若存在x₀∈{x|f（x）+
1
2
≥f（1-x）+x}．使g[g（x₀）]=x₀，则实数a的取值范围为．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
（1）若函数F（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；
（2）设a_n=sin
1
(n+1)2
，求证：
n
k=1
ak＜ln2．

难度：较难

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4．已知函数f(x)=
1
2
x2-(a+
1
a
)x+lnx，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
（Ⅱ）当a≠1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a∈(0，
1
2
)，证明对任意x1，x2∈[
1
2
，1](x1≠x2)，
|f(x1)-f(x2)|
x
2
1
-
x
2
2
＜
1
2
恒成立．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=ax-ln（-x），x∈[-e，0），其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）当a=-1时，确定f（x）的单调性和极值；
（Ⅱ）当a=-1时，证明：f（x）+
ln(-x)
x
＞
1
2
．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=axlnx（a≠0，a∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x∈（1，e）时，不等式
x-1
a
＜lnx恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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7．已知a＜2，函数f（x）=（x²+ax+a）e^x．
（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的极大值是
6
e2
，求a的值．

难度：中等

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8．已知二次函数y=f（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=f（x）在x=-
1
2
处取得极小值c-
1
4
（c＞0）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=
f(x)
x
，求y=g（x）在[1，2]上的最大值．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=
x2+a
x
（a＞0）．
（1）判断并证明函数f（x）在（
a
，+∞）单调性；
（2）若a=2，当x∈[1，4]时，求函数f（x）的最大值．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=
1
3
x³-alnx+a，a∈R，g（x）=
1
3
x³-bx²+c在点（3，g（3））处的切线方程为y=-3x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）f（x）-g（x）≥0在[1，十∞）上恒成立，求a的取值范围．

难度：中等

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