知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（x）=xlnx
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．

难度：较难

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2．设函数f（x）=ae^x（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x²+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．
（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）若对∀x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=lnx，g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²．
（Ⅰ）求函数f（x）在A（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ）若g′（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：g（x）≥
1
2
．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=axsinx+cosx，且f（x）在x=
π
4
处的切线斜率为
2
π
8
．
（1）求a的值，并讨论f（x）在[-π，π]上的单调性；
（2）设函数g（x）=ln（mx+1）+
1-x
1+x
，x≥0，其中m＞0，若对任意的x₁∈[0，+∞）总存在x₂∈[0，
π
2
]，使得g（x₁）≥f（x₂）成立，求m的取值范围．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x-1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．

难度：较难

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7．已知函数f（x）满足对于任意x＞0，都有f（x）+2f（
1
x
）=log_ax+
x
lna
+
2
xlna
（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的极值；
（2）设f（x）的导函数为f′（x），试比较f（x）与f′（x）的大小，并说明理由．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=x³-
1
2
mx2-1的导函数为f′（x），g（x）=e^mx+f′（x）．
（Ⅰ）若f（2）=11，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）证明函数g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤e+1，求m的取值范围．

难度：较难

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9．设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）
（1）求f（x）的最大值；
（2）证明：当n＞m＞1时，（1+n）^m＜（1+m）ⁿ；
（3）证明：当n＞2014，且x₁，x₂，x₃，…，x_n∈R⁺，x₁+x₂+x₃+…+x_n=1时，(
x12
1+x1
+
x22
1+x2
+
x32
1+x3
+…+
xn2
1+xn
)
1
n
＞(
1
2015
)
1
2014
．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=αx-lnx（α∈R）．
（I）α=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的图象恒在x轴上方．求α的取值范围；
（Ⅲ）证明：2015²⁰¹⁶＞2016²⁰¹⁵．

难度：中等

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