已知在等比数列\(\{{{a}_{n}}\}\)中，\({{a}_{1}}=1\)，且\({{a}_{2}}\)是\({{a}_{1}}\)和\({{a}_{3}}-1\)的等差中项．

\((1)\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

\((2)\)若数列\(\{{{b}_{n}}\}\)满足\({{b}_{n}}=2n-1+{{a}_{n}}(n\in {{N}^{*}})\)，求\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)．

在等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{2}}=4,{{a}_{4}}+{{a}_{7}}=15\)，

\((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项\({{a}_{n}}\)；

\((2)\)若\({{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdot \cdot \cdot +{{a}_{n}}}{n}\)，求数列\(\left\{ {{3}^{2{{b}_{n}}-4}} \right\}\)的前\(n\)项和。

已知数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和\({S}_{n} \)，满足．\({{S}_{n}}=3{{a}_{n}}+{{(-1)}^{n}}(n\in {{N}^{*}})\)

\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前三项\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3};\)

\((\)Ⅱ\()\)求证：数列\(\left\{ {{a}_{n}}+\dfrac{2}{5}{{(-1)}^{n}} \right\}\)为等比数列，并求出\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项公式．

设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(S_{n}=n^{2}+n\)，数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式为\(b_{n}=x^{n-1}\)．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)设\(c_{n}=a_{n}b_{n}\)，数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)．

\(①\)求\(T_{n}\)；

\(②\)若\(x=2\)，求数列\(\{\dfrac{nTn+1-2n}{{{T}_{n+2}}-2}\}\)的最小项的值．

等比数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)中，\({a}_{2}=9,{a}_{5}=243 \)，则\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(4\)项和为\((\)   \()\)

已知\(f(x)\)，\(g(x)\)都是定义在\(R\)上的函数，\(g(x)\neq 0\)，\(f(x)g{{'}}(x) > f{{'}}(x)g(x)\)，\(f(x)={a}^{x}·g(x)(a > 0,a\neq 0) \)，\( \dfrac{f(1)}{g(1)}+ \dfrac{f(-1)}{g(-1)}= \dfrac{5}{2} \)，在有穷数列\(\{ \dfrac{f(n)}{g(n)}\}(n=1,2⋯10) \)中，任意取正整数\(k(1\leqslant k\leqslant 10) \)，则前\(k\)项和大于\( \dfrac{15}{16} \)的概率是__________．

填空题。

\((1)\)求经过点\((-2,2)\)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为\(1\)的直线\(l\)的方程____________．

\((2)《\)算法通宗\(》\)是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的\(2\)倍，已知这座塔共有\(381\)盏灯，请问塔顶有几盏灯？”答____盏

\((3)\)已知直线\(y=kx-k+1 \)恒过定点\(A\)，若点\(A\)在直线\(mx+ny-1=0(mn > 0) \)上，则\( \dfrac{1}{m}+ \dfrac{1}{n} \)的最小值为       ．

\((4)\)在\(\Delta ABC\)中，\(a,b,c \)是角\(A,B,C \)的对边，则下列结论正确的序号是_______．

\(①\) 若\(a,b,c \)成等差数列，则\({B}=\dfrac{\pi }{3}\)；              

\(②\) 若\(c=4,b=2 \sqrt{3},B= \dfrac{π}{6} \)，则\(\Delta ABC\)有两解；

\(③\) 若\(b=1,ac=2 \sqrt{3},B= \dfrac{π}{6} \)，则\(a+c=2+\sqrt{3}\)；    

\(④\)若\((2c-b)\cos A=a\cos B\)，则\(A=\dfrac{\pi }{6}\)．

设数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，且满足\(a_{2n+1}=2a_{2n-1}\)，\(a_{2n}=a_{2n-1}+1\)，则数列\(\{a_{n}\}\)的前\(20\)项和\(S_{20}=\)