知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为．

难度：中等

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2．（2015秋•连江县校级月考）如图，定点A，B的坐标分别为A（0，27），B（0，3），一质点C从原点出发，始终沿x轴的正方向运动，已知第1分钟内，质点C运动了1个单位，之后每分钟内比上一分钟内多运动了2个单位，记第n分钟内质点运动了a_n个单位，此时质点的位置为（C_n，0）．
（Ⅰ）求a_n，C_n的表达式；并求数列{
1
an-1an
}的前n项和S_n．
（Ⅱ）当n为何值时，tan∠AC_nB取得最大，最大值为多少？

难度：中等

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3．某种细菌在培养过程中每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到个．

难度：中等

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4．已知边长为2的等边△ABC，O为△ABC的重心．有
OA1
=
1
2
（
OA
+
OB
），
OB1
=
1
2
（
OB
+
OC
），
OC1
=
1
2
（
OC
+
OA
），由A₁，B₁，C₁三点构成一个新的△A₁B₁C₁，面积记为S₁；
OA2
=
1
2
（
OA1
+
OB1
），
OB2
=
1
2
（
OB1
+
OC1
），
OC2
=
1
2
（
OC1
+
OA1
），再由A₂，B₂，C₂三点构成一个新的△A₂B₂C₂，面积记为S₂；
OA3
=
1
2
（
OA2
+
OB2
），
OB3
=
1
2
（
OB2
+
OC2
），
OC3
=
1
2
（
OC2
+
OA2
），再由A₃，B₃，C₃三点构成一个新的△A₃B₃C₃，面积记为S₃．按照上述规则依次作下去，作得第n个三角形为△A_nB_nC_n，面积记为S_n．
（1）求证：数列{S_n}为等比数列；
（2）令T_n=-S_nlog₄
Sn
3
，求S=T₁+T₂+T₃+…+T_n的和值．

难度：较难

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5．某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是
1
2
，构造数列{a_n}，使a_n=
1(当第n次出现正面时)
-1(当第n次出现反面时)
，记S_n=a₁+a₂+…+a_n（n∈N^*）
（1）求S₄=2时的概率；
（2）求恰有2次连续出现2次反面且S₈=-2时的概率．

难度：中等

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6．定义如下运算：
x11 x12 x13 … x1n
x21 x22 x23 … x2n
x31 x32 x33 … x3n
…
xm1 xm2 xm3 … xmn
×
y11 y12 y13 … y1k
y21 y22 y23 … y2k
y31 y32 y33 … y3k
…
yn1 yn2 yn3 … ynk
=
z11 z12 z13 … z1k
z21 z22 z23 … z2k
z31 z32 z33 … z3k
…
zmk zmk zmk … zmk

其中z_ij=x_i1y_1j+x_i2y_2j+x_i3y_3j+…+x_iny_nj．（1≤i≤m，1≤j≤n，i．j∈N^*）．
现有n²个正数的数表A排成行列如下：（这里用a_ij表示位于第i行第j列的一个正数，i，j∈N^*）
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
a31 a32 a33 … a3n
…
an1 an2 an3 … ann
，其中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，且各个等比数列的公比相同，若a24=1，a42=
1
8
，a43=
3
16
，
（1）求a_ij的表达式（用i，j表示）；
（2）若
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
a31 a32 a33 … a3n
…
an1 an2 an3 … ann
×
1 3
2 32
3 33
⋮ ⋮
n 3n
=
b11 b12
b21 b22
b31 b32
⋮ ⋮
bn1 bn2
，求b_i1．b_i2（1≤i≤n，用i，n表示）

难度：较难

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7．在正项数列{a_n}中，a₁=
1
3
，a_n+1=a_n+（
an
n
）²（n∈N^*）
（1）判断数列{a_n}的单调性，并证明你的结论；
（2）求证：对n∈N^*都有：
1
3
≤a_n＜1．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}满足：a1=
1
2
，
3(1+an+1)
1-an
=
2(1+an)
1-an+1
，a_na_n+1＜0（n≥1），数列{b_n}满足：b_n=a_n+1²-a_n²（n≥1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式
（Ⅱ）证明：数列{b_n}中的任意三项不可能成等差数列．
（Ⅲ）证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）+
n
2n+1
（n≥1）

难度：中等

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9．已知数列{a_n}满足：a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）f（x）=x-sinx，0＜a₁＜1，求证：0＜a_n+1＜a_n＜1；
（2）f（x）=x³-x²+
x
2
+
1
4
，试确定一个首项a₁，使得数列{a_n}为单调数列，并证明你的结论；
（3）f（x）=
1
4
（x²+3），a₁＞0，若对一切n∈N^*，都有a_n+1＞a_n，求a₁的取值范围．

难度：较难

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10．假设从某年开始，每年元旦向银行存款1万元，年利率为4%，求到第11年元旦的本利和（1.04¹⁰=1.408）．

难度：较易

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