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          共50条信息

            • 1． 某农场规划将果树种在正方形的场地内．为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树． 在如图里，你可以看到规划种植果树的列数（n），果树数量及松树数量的规律：
              （1）按此规律，n=5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量an，及松树数量bn关于n的表达式．
              （2）定义：f（n+1）-f（n）（n∈N*）为f（n）增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由．
              难度：中等
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            • 2． 对于数列{an}，称P（ak）=
              1
              k-1
              (|a1-a2|+|a2-a3|+…+|ak-1-ak|)              （其中k≥2，k∈N）为数列{an}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（ak+1）＜P（ak），则称数列{an}为“趋稳数列”．
              （1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；
              （2）已知等差数列{an}的公差为d，且a1＞0，d＞0，其前n项和记为Sn，试计算：Cn2P（S2）+Cn3P（S3）+…+CnnP（Sn）（n≥2，n∈N）；
              （3）若各项均为正数的等比数列{bn}的公比q∈（0，1），求证：{bn}是“趋稳数列”．
              难度：较难
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            • 3． （2016春•徐州期中）将正偶数排列如图，其中第i行和第j列的数表示为aij=（i，j∈N+），例如a43=18，若aij=2016，则i+j=    ．
              难度：中等
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            • 4． n2（n≥4，n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵，A=
              a11a12a13a14…a1n
              a21a22a23a24…a2n
              a31a32a33a34…a3n
              ………
              an1an2an3an4…ann
              ，其中aij（1≤i≤n，1≤j≤n）表示该数阵中位于第i行第j列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a22=6，a33=16．
              （Ⅰ） 求a11和aij．
              （Ⅱ）设An=a1n+a2（n-1）+a3（n-2）+…+an1．
              ①求An；
              ②证明：当n是3的倍数时，An+n能被21整除．
              难度：中等
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            • 5． 对任意正整数n，设an是方程x2+
              x
              n
              =1的正根．求证：
              （1）an+1＞an；
              （2）
              1
              2a2
              +
              1
              3a3
              +…+
              1
              nan
              ＜1+
              1
              2
              +
              1
              3
              +…+
              1
              n
              ．
              难度：较难
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            • 6． 已知x1、x2是函数f（x）=x2+mx+t的两个零点，其中常数m、t∈Z，记
              n
              i=0
              xi=x0+x1+…+xn              ，设Tn=
              n
              r=0
              x
              n-r
              1
              x
              r
              2
              （n∈N*）．
              （1）用m、t表示T1、T2；
              （2）求证：T5=-mT4-tT3；
              （3）求证：对任意的n∈N*，Tn∈Z．
              难度：较难
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            • 7． 对于无穷数列{Tn}，若正整数n0，使得n≥n0（n∈N*）时，有Tn+1＞Tn，则称{Tn}为“n0～不减数列”．
              （1）设s，t为正整数，且s＞t，甲：{xn}为“s～不减数列”，乙：{xn}为“t～不减数列”．
              试判断命题：“甲是乙的充分条件”的真假，并说明理由；
              （2）已知函数y=f（x）与函数y=-
              1
              x
              +2的图象关于直线y=x对称，数列{an}满足a1=3，an+1=f（an）（n∈N*），如果{an}为“n0～不减数列”，试求n0的最小值；
              （3）设yn=
              f(
              4
              3
              )，(n=1)
              (
              1
              2n
              +1)cosnπ，(n≥2，n∈N*)
              ，且xn-λyn=2n，是否存在实数λ使得{xn}为“
              1
              2
              f（f（
              4
              3
              ））～不减数列”？若存在，求出λ的取值范围，若不存在，说明理由．
              难度：较难
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            • 8． 定义：对于项数为m的有穷数列{an}，令bk为a1，a2，…ak（k≤m）（m＞3）中的最大值，称数列{bn}为{an}的伴随数列，例如数列3，6，8，7的伴随数列为3，6，8，8．考查自然数1，2，…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{cn}，若m=4，则伴随数列为1，4，4，4的所有数列{cn} 为    ．
              难度：中等
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            • 9． 定义在R上的函数f（x）=
              4x
              4x+2
              ，Sn=f（
              1
              n
              ）+f（
              2
              n
              ）+…+f（
              n-1
              n
              ），n=2，3，…
              （1）求Sn；
              （2）是否存在常数M＞0，∀n≥2，有
              1
              S2
              +
              1
              S3
              +…+
              1
              Sn+1
              ≤M．
              难度：中等
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            • 10． 如图所示，将一个边长为1的正方形沿中线对半分成面积相等的两个长方形，再将其中的一个长方形沿中线对半分成面积相等顶点两个正方形，如此下去，得到一系列小正方形，依次记这些小正方形的面积为a1，a2，a3，…
              （1）写出以这些小正方形面积构成的数列{an}的通项公式；
              （2）猜测所有这些小正方形面积的和大约是多少？
              难度：中等
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