知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．
已知数列$\{x_{n}\}$满足：$x_{1}=1$，$x_{n}=x_{n+1}+ \sqrt {x_{n+1}+1}-1$．
证明：当$n∈N*$时，
$(1)0 < x_{n+1} < x_{n}$；
$(2)3x_{n+1}-2x_{n} < \dfrac {x_{n}x_{n+1}}{3}$；
$(3)( \dfrac {2}{3})^{n-1}\leqslant x_{n}\leqslant ( \dfrac {2}{3})^{n-2}$．

难度：中等

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2．在公比为2的等比数列{a_n}中，a₂与a₃的等差中项是9 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）若函数y=|a₁|sin（ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ x+φ），|φ|＜π，的一部分图象如图所示，M（-1，|a₁|），N（3，-|a₁|）为图象上的两点，设∠MPN=β，其中P与坐标原点O重合，0＜β＜π，求tan（φ-β）的值．

难度：较易

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3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+n=2a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n．求满足不等式 $%20%5Cfrac%20%7BT_%7Bn%7D-2%7D%7B2n-1%7D$ ＞2010的n的最小值．

难度：难

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4．已知数列{a_n}满足 $a_%7Bn%2B1%7D%2Ba_%7Bn%7D%3D%28n%2B1%29%5Ccdot%20cos%20%5Cfrac%20%7Bn%CF%80%7D%7B2%7D%28n%E2%89%A52%EF%BC%8Cn%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ，S_n是数列{a_n}的前n项和，若S₂₀₁₇+m=1010，且a₁•m＞0，则 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B1%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bm%7D$ 的最小值为（　　）

A．2

B． $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$

C． $2%20%5Csqrt%20%7B2%7D$

D． $2%2B%20%5Csqrt%20%7B2%7D$

难度：难

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5．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（）

A．8

B．9

C．10

D．11

难度：中等

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6．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}满足a₁= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，都有a_n+1= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ a_n³+ $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ a_n，n∈N^*
（1）求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ •（ $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ ）^n-1≤a_n≤ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ •（ $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ ）^n-1，n∈N^*
（2）求证：当n∈N^*时， $%20%5Cfrac%20%7B1-a_%7B2%7D%7D%7B1-a_%7B1%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1-a_%7B3%7D%7D%7B1-a_%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1-a_%7B4%7D%7D%7B1-a_%7B3%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1-a_%7Bn%2B1%7D%7D%7B1-a_%7Bn%7D%7D$ ≥ $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7B2%7D%7D%7Ba_%7B1%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7B3%7D%7D%7Ba_%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7B4%7D%7D%7Ba_%7B3%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%2B1%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ +6[1-（ $%20%5Cfrac%20%7B11%7D%7B12%7D$ ）ⁿ]．

难度：中等

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8．已知正数数列{a_n}的前n项和为Sn，满足S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并求出通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（1- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ）²-a（1- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ），若b_n+1＞b_n对任意n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较易

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9．已知数列{a_n}中a₁=2， $a_%7Bn%2B1%7D%3D2-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，数列{b_n}中 $b_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D-1%7D$ ，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n是数列{ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7Db_%7Bn%7D$ }的前n项和，求 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BS_%7B1%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BS_%7B2%7D%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BS_%7Bn%7D%7D$ ；
（Ⅲ）设T_n是数列 $%5C%7B%C2%A0%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%29%5E%7Bn%7D%5Ccdot%20b_%7Bn%7D%C2%A0%5C%7D$ 的前n项和，求证： $T_%7Bn%7D%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ ．

难度：中等

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10．数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-a_n+1，a₁=2．
（1）比较a_n与a_n+2的大小；
（2）证明： $2%5E%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D$ ＜a_n+1-1＜2^2ⁿ（n≥2，n∈N^*）；
（3）记S_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B1%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B2%7D%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7DS_%7Bn%7D$ ．

难度：较易

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