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          共50条信息

            • 1． 已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为(    )
              A．\(9\)
              B．
              C．
              D．
              难度：中等
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            • 2．

              已知数列\(\{an\}\)的首项\({a}_{1}= \dfrac{3}{5},{a}_{n+1}= \dfrac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1},n∈{N}^{*} \)．

              \((1)\)求证：数列\(\{ \dfrac{1}{{a}_{n}}-1\} \)为等比数列；

              \((2)\)记\({S}_{n}= \dfrac{1}{{a}_{1}}+ \dfrac{1}{{a}_{2}}+...+ \dfrac{1}{{a}_{n}} \)，若\(S_{n} < 101\)，求最大正整数\(n\)的值；

                  \((3)\)是否存在互不相等的正整数\(m\)，\(s\)，\(n\)，使\(m\)，\(s\)，\(n\)成等差数列，且\(a_{m}-1\)，\(a_{s}-1\)，\(a_{n}-1\)成等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由．

              难度：难
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            • 3． 设数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=0\)且\(\dfrac{1}{1-{{a}_{n+1}}}-\dfrac{1}{1-{{a}_{n}}}=1\)．

              \((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

              \((2)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{1-\sqrt{{{a}_{n+1}}}}{\sqrt{n}}\)，记\({{S}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{b}_{k}}}\)，证明：\(S_{n} < 1\)．

              难度：难
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            • 4．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=1+ \dfrac {2}{a_{n}}\)，记\(b_{n}= \dfrac {a_{n}-2}{a_{n}+1}\)
              \((1)\)求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等比数列，并求\(b_{n}\)；
              \((2)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)；
              \((3)\)记\(c_{n}=nb_{n}\)，\(S_{n}=c_{1}+c_{2}+…+c_{n}\)，对任意正整数\(n\)，不等式\( \dfrac {m}{32}+ \dfrac {3}{2}S_{n}+n(- \dfrac {1}{2})^{n+1}- \dfrac {1}{3}(- \dfrac {1}{2})^{n} > 0\)恒成立，求最小正整数\(m\)．

              难度：中等
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            • 5． 已知\(f(x)=- \sqrt {4+ \dfrac {1}{x^{2}}}\)，数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，点\(P_{n}(a_{n},- \dfrac {1}{a_{n+1}})\)在曲线\(y=f(x)\)上\((n∈N^{*})\)，且\(a_{1}=1\)，\(a_{n} > 0\)．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\) 的通项公式；
              \((2)\)数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，且满足\( \dfrac {T_{n+1}}{a_{n}^{2}}= \dfrac {T_{n}}{a_{n+1}^{2}}+16n^{2}-8n-3\)，\(b_{1}=1\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((3)\)求证：\(S_{n} > \dfrac {1}{2} \sqrt {4n+1}-1\)，\(n∈N^{*}\)．
              难度：中等
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            • 6． 设数列\(\{a_{n}\}\)，其前\(n\)项和\(S_{n}=-3n^{2}\)，\(\{b_{n}\}\)为单调递增的等比数列，\(b_{1}b_{2}b_{3}=512\)，\(a_{1}+b_{1}=a_{3}+b_{3}\)．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)的通项；
              \((2)\)若\(c_{n}= \dfrac {b_{n}}{(b_{n}-2)(b_{n}-1)}\)，数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)，求证：\( \dfrac {2}{3}\leqslant T_{n} < 1\)．
              难度：较易
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            • 7． 已知数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{1}=1\)，\(3a \;_{ n+1 }^{ 2 }+3a \;_{ n }^{ 2 }-10a_{n}a_{n+1}=3\)，\(a_{n} < a_{n+1}(n∈N^{+}).\)
              \((\)Ⅰ\()\)证明：\(\{3a_{n+1}-a_{n}\}\)是等比数列；
              \((\)Ⅱ\()\)设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，求证：\( \dfrac {n^{2}}{S_{n}}\leqslant \dfrac {1}{a_{1}}+ \dfrac {1}{a_{2}}+…+ \dfrac {1}{a_{n}} < \dfrac {3}{2}\)．
              难度：中等
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            • 8．
              在数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(b_{1}=4\)，且\(a_{n}\)，\(b_{n}\)，\(a_{n+1}\)成等差数列，\(b_{n}\)，\(a_{n+1}\)，\(b_{n+1}\)成等比数列\((n∈N^{*}).\)
              \((\)Ⅰ\()\)求\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)和\(b_{2}\)，\(b_{3}\)，\(b_{4}\)，由此猜测\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)证明你的结论；
              \((\)Ⅲ\()\)证明：\( \dfrac {1}{a_{1}+b_{1}}+ \dfrac {1}{a_{2}+b_{2}}+…+ \dfrac {1}{a_{n}+b_{n}} < \dfrac {5}{12}\)．
              难度：中等
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            • 9．
              已知各项均为正实数的数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(4S_{n}=a_{n}^{2}+2a_{n}-3\)对于一切\(n∈N^{*}\)成立．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(a_{1}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅲ\()\)设\(b_{n}= \sqrt {2^{a_{n}-1}},T_{n}\)为数列\(\{ \dfrac {a_{n}}{b_{n}}\}\)的前\(n\)项和，求证\(T_{n} < 5\)．
              难度：难
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            • 10．
              已知\(f(x)=\ln x,g(x)= \dfrac {1}{2}ax^{2}+3x+1\)，\(e\)为自然对数\(\ln x\)的底数．
              \((\)Ⅰ\()\)若函数\(h(x)=f(x)-g(x)\)存在单调递减区间，求实数\(a\)的取值范围；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(0 < α < β\)时，求证：\(\alpha f(\alpha )+\beta f(\beta ) > (\alpha +\beta )f( \dfrac {\alpha +\beta }{2})\)；
              \((\)Ⅲ\()\)求\(f(x)-x\)的最大值，并证明当\(n > 2\)，\(n∈N^{*}\)时，\(\log _{2}e+\log _{3}e+\log _{4}e\cdots +\log _{n}e > \dfrac {3n^{2}-n-2}{2n(n+1)}\)．
              难度：难
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