知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若数列{a_n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a_n}为“等比源数列”
（1）已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n-1．
①求{a_n}的通项公式；
②试判断{a_n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．
（2）已知数列{a_n}为等差数列，且a₁≠0，a_n∈Z（n∈N^*），求证：{a_n}为“等比源数列”

难度：较难

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2．已知a₁，a₂，…，a_n是由m（n∈N^*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列{b_n}满足b_n=n+1-a_k（k=1，2，…，n）．
（1）当n=3时，写出数列{a_n}和{b_n}，使得a₂=3b₂；
（2）证明：当n为正偶数时，不存在满足a_k=b_k（k=1，2，…，n）的数列{a_n}；
（3）若c₁，c₂，…，c_n是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出c_k（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示c₁+2c₂+…+nc_n．
（参考：1²+2²+…+n²=
1
6
n（n+1）（2n+1））

难度：中等

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3．某种放射性物质，每经过一年平均减少6.2%，求5年后1克这样的物质还剩克？（精确到0.001）

难度：中等

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4．甲虫是行动较快的昆虫之一，如表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：
时间t（s） 1 2 3 … ？ … 60
距离s（cm） 9.8 19.6 29.4 … 49 … ？
（1）你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？
（2）利用建立的模型计算，甲虫1min能爬多远？它爬行49cm需要多长时间？

难度：较易

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5．容器中有纯酒精a（a＞1）升，现倒出1升后用水加满搅匀，并规定“倒出1升后用水加满搅匀”为一次操作，若第n次操作后容器中酒精浓度为a_n，则a_n+1用a_n表示为；数列{a_n}通项公式是．

难度：较易

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6．下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为f（n）．

（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；
（2）找出f（n）与f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式；
（3）求证：
1
f(1)
+
1
f(2)
+
1
f(3)
+…+
1
f(n)
＜
2
3
（n∈N^*）

难度：中等

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7．某餐厅供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A菜的学生中有20%在下周一选B菜，而选B菜的学生中有30%在下周一选A菜，用A_n、B_n分别表示在第n个星期一选A菜、B菜的学生数，试写出A_n与A_n-1的关系及B_n与B_n-1的关系．

难度：中等

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8．某市新区一街道AB长1500米，街道A处有大量河沙，为方便工作，需要提前在街面上每隔50米放置一车沙，现用一辆车将A年的沙由到远依次倒放在指定地点，问：将所有各点的沙倒完时，这辆车共往返行驶了多少路程？

难度：中等

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9．定义：对于项数为m的有穷数列{a_n}，令b_k为a₁，a₂，…a_k（k≤m）（m＞3）中的最大值，称数列{b_n}为{a_n}的伴随数列，例如数列3，6，8，7的伴随数列为3，6，8，8．考查自然数1，2，…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c_n}，若m=4，则伴随数列为1，4，4，4的所有数列{c_n} 为．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=
x+3
x+1
，x∈（0，+∞），数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），n∈N^*，a₁=1．
（1）试比较|a_n+1-
3
|与|a_n-
3
|的大小，并说明理由．
（2）求证：|a₁-
3
|+|a₂-
3
|+|a₃-
3
|+…+|a_n-
3
|＜
3
+1．

难度：中等

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时间t（s）	1	2	3	…	？	…	60
距离s（cm）	9.8	19.6	29.4	…	49	…	？