知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设\(\{{{a}_{n}}\}\)是首项为\({{a}_{1}}\)，公差为\(d\)的等差数列，\(\{{{b}_{n}}\}\)是首项为\({{b}_{1}}\)，公比为\(q\)的等比数列．

\((1)\)设\({{a}_{1}}=0,{{b}_{1}}=1,q=2\)，若\(|{{a}_{n}}-{{b}_{n}}|\leqslant {{b}_{1}}\)对\(n=1,2,3,4\)均成立，求\(d\)的取值范围；

\((2)\)若\({{a}_{1}}={{b}_{1}} > 0,m\in {{N}^{*}},q\in (1,\sqrt[m]{2}]\)，证明：存在\(d\in R\)，使得\(|{{a}_{n}}-{{b}_{n}}|\leqslant {{b}_{1}}\)对\(n=2,3,\cdots ,m+1\)均成立，并求\(d\)的取值范围\((\)用\({{b}_{1}},m,q\)表示\()\)．

难度：难

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2．已知数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式为\(a_{n}=2^{5-n}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式为\(b_{n}=n+k\)，设\(c_{n}= \begin{cases} \overset{b_{n},a_{n}\leqslant b_{n}}{a_{n},a_{n} > b_{n}}\end{cases}\)若在数列\(\{c_{n}\}\)中，\(c_{5}\leqslant c_{n}\)对任意\(n∈N^{*}\)恒成立，则实数\(k\)的取值范围是______．

难度：中等

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3．
已知函数\(f(x)\)，给出如下定义：若\(f_{1}(x)\)，\(f_{2}(x)\)，\(…\)，\(f_{n}(x)\)，\(…\)均为定义在同一个数集下的函数，且\(f_{1}(x)=f(x)\)，\(f_{n}(x)=f(f_{n-1}(x))\)，其中\(n=2\)，\(3\)，\(4\)，\(…\)，则称\(f_{1}(x)\)，\(f_{2}(x)\)，\(…\)，\(f_{n}(x)\)，\(…\)为一个嵌套函数列，记为\(\{f_{n}(x)\}\)，若存在非零实数\(λ\)，使得嵌套函数列\(\{f_{n}(x)\}\)满足\(f_{n-1}(x)=λf_{n}(x)\)，则称\(\{f_{n}(x)\}\)为类等比函数列．
\((\)Ⅰ\()\)已知\(\{f_{n}(x)\}\)是定义在\(R\)上的嵌套函数列，若\(f(x)= \dfrac {x}{2}+ \dfrac {1}{4}\)．
\(①\)求\(f(2)\)，\(f_{2}(2)\)，\(f_{3}(2)\)．
\(②\)证\(\{f_{n}(x)- \dfrac {1}{2}\}\)是类等比函数列．
\((\)Ⅱ\()\)已知\(\{g_{n}(x)\}\)是定义在\((1,+∞)\)上嵌套函数列．
若\(g(x)= \dfrac {1}{2}(x+ \dfrac {1}{x})\)，求证\(|g_{n+1}(x)-g_{n}(x)| < \dfrac {1}{2^{n}}|x- \dfrac {1}{x}|.\)

难度：中等

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4．
在数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}+2a_{2}++2^{2}a_{3}+…2^{n-1}a_{n}=(n⋅2^{n}-2^{n}+1)t\)对任意\(n∈N^{*}\)成立，其中常数\(t > 0.\)若关于\(n\)的不等式\( \dfrac {1}{a_{2}}+ \dfrac {1}{a_{4}}+ \dfrac {1}{a_{8}}+…+ \dfrac {1}{a_{2^{n}}} > \dfrac {m}{a_{1}}\)的解集为\(\{n|n\geqslant 4,n∈N^{*}\}\)，则实数\(m\)的取值范围是 ______ ．

难度：较易

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5．
设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，已知\( \dfrac {S_{n}}{2}=a_{n}-2^{n}(n∈N^{*}).\)
\((1)\)求\(a_{1}\)的值，若\(a_{n}=2^{n}c_{n}\)，证明数列\(\{c_{n}\}\)是等差数列；
\((2)\)设\(b_{n}=\log _{2}a_{n}-\log _{2}(n+1)\)，数列\(\{ \dfrac {1}{b_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\(B_{n}\)，若存在整数\(m\)，使对任意\(n∈N^{*}\)且\(n\geqslant 2\)，都有\(B_{3n}-B_{n} > \dfrac {m}{20}\)成立，求\(m\)的最大值．

难度：较易

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6．
已知函数\(f(x)=\sin (2x- \dfrac {π}{6})+2\cos ^{2}x-1(x∈R)\)．
\((1)\)求\(f(x)\)的单调递增区间；
\((2)\)在\(\triangle ABC\)中，三内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，已知\(f(A)= \dfrac {1}{2}\)，\(b\)，\(a\)，\(c\)成等差数列，且\( \overrightarrow{AB}⋅ \overrightarrow{AC}=9\)，求\(a\)的值．

难度：较易

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7．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足：\(S_{n}=t(S_{n}-a_{n}+1)(t\)为常数，且\(t\neq 0\)，\(t\neq 1)\)．
\((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}=a_{n}^{2}+S_{n}a_{n}\)，若数列\(\{b_{n}\}\)为等比数列，求\(t\)的值；
\((3)\)在满足条件\((2)\)的情形下，设\(c_{n}=4a_{n}+1\)，数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，若不等式\( \dfrac {12k}{4+n-T_{n}}\geqslant 2n-7\)对任意的\(n∈N^{*}\)恒成立，求实数\(k\)的取值范围．

难度：难

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8．已知\(f(x)= \dfrac {x}{1+x}(x\geqslant 0)\)，数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=f(1)\)，且\(a_{n+1}=f(a_{n})(n∈N_{+})\)，则\(a_{2015}=\)______．

难度：较易

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9．已知数列\(\{a_{n}\}\)是首项为\(a_{1}= \dfrac {1}{4}\)，公比\(q= \dfrac {1}{4}\)的等比数列，设\(b_{n}+2=3\log \;_{ \frac {1}{4}}a_{n}(n∈N^{*})\)，数列\(\{c_{n}\}\)满足\(c_{n}=a_{n}⋅b_{n}.(\)Ⅰ\()\)求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)；
\((\)Ⅱ\()\)若\(c_{n}\leqslant \dfrac {1}{4}m^{2}+m-1\)对一切正整数\(n\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围．

难度：中等

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10．已知函数\(f(x)=\log _{2}x\)，\(g(x)=x^{2}+2x\)，数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和记为\(S_{n}\)，\(b_{n}\)为数列\(\{b_{n}\}\)的通项，\(n∈N^{*}.\)点\((b_{n},n)\)和\((n,S_{n})\)分别在函数\(f(x)\)和\(g(x)\)的图象上．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)令\(C_{n}= \dfrac {1}{a_{n}\cdot f(b_{2n-1})}\)，求数列\(\{C_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：较易

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