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          共50条信息

            • 1．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n}= \dfrac {n}{t+1}(n,t∈N*,t\geqslant 3,n\leqslant t)\)．
              证明：
              \((I)a_{n} < e\;^{a_{n}-1}(e\)为自然对数底数\()\)；
              \((\)Ⅱ\() \dfrac {1}{a_{1}}+ \dfrac {1}{a_{2}}+…+ \dfrac {1}{a_{n}} > (t+1)\ln (n+1)\)；
              \((\)Ⅲ\()(a_{1})^{t}+(a_{2})^{t}+(a_{3})^{t}+…+(a_{n})^{t} < 1\)．
              难度：中等
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            • 2．
              若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比数列，则函数\(y=ax^{2}+bx+c\)的图象与\(x\)轴的交点个数为\((\)　　\()\)
              A．\(0\)
              B．\(1\)
              C．\(2\)
              D．\(0\)或\(1\)
              难度：中等
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            • 3．
              已知函数\(f(x)=a^{x}\)的图象过点\((1, \dfrac {1}{2})\)，且点\((n-1, \dfrac {a_{n}}{n^{2}})(n∈N^{*})\)在函数\(f(x)=a^{x}\)的图象上．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)令\(b_{n}=a_{n+1}- \dfrac {1}{2}a_{n}\)，若数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，求证：\(S_{n} < 5\)．
              难度：较易
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            • 4．
              已知函数\(f(x)=\log _{2}(x+t)\)，且\(f(0)\)，\(f(1)\)，\(f(3)\)成等差数列，点\(P\)是函数\(y=f(x)\)图象上任意一点，点\(P\)关于原点的对称点\(Q\)的轨迹是函数\(y=g(x)\)的图象．
              \((1)\)解关于\(x\)的不等式\(2f(x)+g(x)\geqslant 0\)；
              \((2)\)当\(x∈[0,1)\)时，总有\(2f(x)+g(x)\geqslant m\)恒成立，求\(m\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 5．
              已知点\((1, \dfrac {1}{3})\)是函数\(f(x)=a^{x}(a > 0\)，且\(a\neq 1)\)的图象上一点，等比数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(f(n)-c\)，数列\(\{b_{n}\}(b_{n} > 0)\)的首项和\(S_{n}\)满足\(S_{n}-S_{n-1}= \sqrt {S_{n}}+ \sqrt {S_{n+1}}(n\geqslant 2)\)．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若数列\(\{ \dfrac {1}{b_{n}b_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，问\(T_{n} > \dfrac {1000}{2009}\)的最小正整数\(n\)是多少？
              难度：中等
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            • 6．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)满足：\(S_{n}= \dfrac {a}{a-1}(a_{n}-1)(a\)为常数，且\(a\neq 0\)，\(a\neq 1)\)
              \((1)\)若\(a=2\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式
              \((2)\)设\(b_{n}= \dfrac {2S_{n}}{a_{n}}+1\)，若数列\(\{b_{n}\}\)为等比数列，求\(a\)的值．
              \((3)\)在满足条件\((2)\)的情形下，设\(c_{n}= \dfrac {1}{1+a_{n}}+ \dfrac {1}{1-a_{n+1}}\)，数列\(\{c_{n}\}\)前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求证\(T_{n} > 2n- \dfrac {1}{3}\)．
              难度：较易
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            • 7．
              设\(\triangle ABC\)的三内角\(A\)、\(B\)、\(C\)成等差数列，\(\sin A\)、\(\sin B\)、\(\sin C\)成等比数列，则这个三角形的形状是\((\)　　\()\)
              A．直角三角形
              B．钝角三角形
              C．等腰直角三角形
              D．等边三角形
              难度：中等
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            • 8．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=2- \dfrac {1}{a_{n}}\)，数列\(\{b_{n}\}\)中\(b_{n}= \dfrac {1}{a_{n}-1}\)，其中 \(n∈N^{*}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等差数列；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(S_{n}\)是数列\(\{ \dfrac {1}{3}b_{n}\}\)的前\(n\)项和，求\( \dfrac {1}{S_{1}}+ \dfrac {1}{S_{2}}+…+ \dfrac {1}{S_{n}}\)；
              \((\)Ⅲ\()\)设\(T_{n}\)是数列\(\{\;( \dfrac {1}{3})^{n}\cdot b_{n}\;\}\)的前\(n\)项和，求证：\(T_{n} < \dfrac {3}{4}\)．
              难度：中等
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            • 9．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的满足\(a_{1}=1\)，前\(n\)项的和为\(S_{n}\)，且\( \dfrac {a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}a_{n+1}}= \dfrac {2}{4S_{n}-1}(n∈N^{*}).\)
              \((1)\)求\(a_{2}\)的值；
              \((2)\)设\(b_{n}= \dfrac {a_{n}}{a_{n+1}-a_{n}}\)，证明：数列\(\{b_{n}\}\)是等差数列；
              \((3)\)设\(c_{n}=2^{b_{n}}\cdot a_{n}\)，若\(1\leqslant λ\leqslant \sqrt {2}\)，求对所有的正整数\(n\)都有\(2λ^{2}-kλ+3 \sqrt {2} < c_{n}\)成立的\(k\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 10． （2016•全国）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1 ， a2 ， …，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（　　）
              A．18个
              B．16个
              C．14个
              D．12个
              难度：难
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