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          共50条信息

            • 1．

              已知函数\(f(x)=x^{2}+2bx\)的图象在点\(A(0,f(0))\)处的切线\(l\)与直线\(x+y+3=0\)垂直，若数列\(\{\dfrac{1}{f\left(n\right)} \}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，则\(S_{2011}\)的值为\((\)  \()\)

              A．\(\dfrac{2012}{2011} \)
              B．\(\dfrac{2010}{2011} \)
              C．\(\dfrac{2013}{2012} \)
              D．\(\dfrac{2011}{2012} \)
              难度：易
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            • 2． 在数列\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)中，\(a\)\({\,\!}_{1}\)\(=2\)，\(a\)\({\,\!}_{17}\)\(=66\)，通项公式是关于\(n\)的一次函数．
              \((1)\)求数列\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)的通项公式；
              \((2)\)求\(a\)\({\,\!}_{2015}\)；
              \((3)2 016\)是否为数列\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)中的项？
              难度：中等
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            • 3．

              \((\)选作\()\)设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=1\)，满足\( \overrightarrow{a}=(S_{n+1}-2S_{n},S_{n})\)，\( \overrightarrow{b}=(2,n)\)，\( \overrightarrow{a}/\!/ \overrightarrow{b}\)．
              \((1)\)求证：数列\(\{ \dfrac {S_{n}}{n}\}\)为等比数列；
              \((2)\)求数列\(\{S_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

              难度：难
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            • 4． 已知无穷数列\(\{a_{n}\}\)的各项均为正整数，\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和．
              \((\)Ⅰ\()\)若数列\(\{a_{n}\}\)是等差数列，且对任意正整数\(n\)都有\(S_{n^{2}}=(S_{n})^{2}\)成立，求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)对任意正整数\(n\)，从集合\(\{a_{1},a_{2},…,a_{n}\}\)中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}\)一起恰好是\(1\)至\(S_{n}\)全体正整数组成的集合．
              \((ⅰ)\)求\(a_{1}\)，\(a_{2}\)的值；
              \((ⅱ)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式．
              难度：较易
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            • 5．
              已知函数 \(f\)\(( \)\(x\)\()=\) \(x\)\({\,\!}^{2}-2( \)\(n\)\(+1)\) \(x\)\(+\) \(n\)\({\,\!}^{2}+5\) \(n\)\(-7( \)\(n\)\(∈N^{*}).\)

              \((1)\)设函数\(y\)\(=\)\(f\)\((\)\(x\)\()\)的图象的顶点的纵坐标构成数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)，求证：\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)为等差数列；

              \((2)\)设函数\(y\)\(=\)\(f\)\((\)\(x\)\()\)的图象的顶点到\(x\)轴的距离构成数列\(\{\)\(b_{n}\)\(\}\)，求\(\{\)\(b_{n}\)\(\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．

              难度：较易
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            • 6． 已知数列\(\{a_{n}\}\)是公差不为零的等差数列，\(a_{10}=15\)，且\(a_{3}\)、\(a_{4}\)、\(a_{7}\)成等比数列．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}= \dfrac {a_{n}}{2^{n}}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求证：\(- \dfrac {7}{4}\leqslant T_{n} < -1(n∈N^{*})\)．
              难度：难
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            • 7． 已知数列\(\{a_{n}\}\)是公差不为\(0\)的等差数列，\(a_{3}=6\)，且\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{4}\)成等比数列，数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{n+1}=2b_{n}+1\)，\(n∈N^{*}\)，且\(b_{1}=3\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式
              \((2)\)设数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(c_{n}= \dfrac {1}{a_{n}\cdot \log _{2}(b_{n}+1)}\)，证明：\(S_{n} < \dfrac {1}{2}\)．
              难度：中等
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            • 8．

              已知\(\{a_{n}\}\)是等差数列，\(S_{n}\)为其前\(n\)项和，若\(S_{29}=S_{4000}\)，\(O\)为坐标原点，点\(P(1,a_{n})\)，点\(Q(2015,a_{2015})\)，则\(\overrightarrow{OP}·\overrightarrow{OQ}=\)(    )

              A．\(2015\)                                                 
              B．\(-2015\)
              C．\(0\)                                                       
              D．\(1\)
              难度：较易
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            • 9． 将\((1+ \dfrac {1}{3}x)^{n}\)展开式的各项依次记为\(a_{1}(x)\)，\(a_{2}(x)\)，\(a_{3}(x)\)，\(…\)，\(a_{n}(x)\)，\(a_{n+1}(x)\)，设\(F(x)=a_{1}(x)+2a_{2}(x)+3a_{3}(x)+…+na_{n}(x)+(n+1)a_{n+1}(x)\)．
              \((1)\)是否存在\(n∈N^{*}\)，使得\(a_{1}(x)\)，\(a_{2}(x)\)，\(a_{3}(x)\)的系数成等比数列？若存在，求出\(n\)的值；若不存在，请说明理由．
              \((2)\)求证：对任意\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[0,3]\)，恒有\(|F(x_{1})-F(x_{2})| < 2^{n-1}(n+2)\)．
              难度：中等
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            • 10． 已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=a_{n}+n^{2}-1\)，数列\(\{b_{n}\}\)满足\(3^{n}⋅b_{n+1}=(n+1)a_{n+1}-na_{n}\)，且\(b_{1}=3\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(a_{n}\)，\(b_{n}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(T_{n}\)为数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和，求\(T_{n}\)，并求满足\(T_{n} < 7\)时\(n\)的最大值．
              难度：较易
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