知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}中，a₁=1，且当x=
1
2
时，函数f（x）=
1
2
a_n•x²+（2^-n-a_n+1）•x取得极值．
（1）若b_n=2^n-1•a_n，证明数列{b_n}为等差数列；
（2）设数列c_n=
1
bn•bn+1
，{c_n}的前n项和为S_n，若不等式mS_n＜n+4（-1）ⁿ对任意的正整数n恒成立，求m的取值范围．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹-1（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃
（2）求实数λ使{
an+λ
2n
}为等差数列，并由此求出a_n与S_n；
（3）求n的所有取值，使
Sn
an
∈N^*，说明你的理由．

难度：较难

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3．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：当n≥2时，a_n+3S_n•S_n-1=0，且a₁=
1
3
，S_n≠0．
（1）求证：数列{
1
Sn
}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=2n²-15n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

难度：中等

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5．数列{a_n}前n项和为S_n，已知a₁=1，a₂=6，S_n=3S_n-1-2S_n-2+2ⁿ（n≥3）．
（1）求证：{
an
2n
}（n∈N^*）是等差数列；
（2）求{a_n}前n项和S_n．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且a_n=S_nS_n-1（n≥2，S_n≠0），a₁=
2
9

（Ⅰ）求证：{
1
Sn
}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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7．在数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N）．
（Ⅰ）试判断数列{
1
an
}是否为等差数列．
（2）求数列{
2n+5
an
}的前n项和．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+kS_nS_n-1=0（k＞0，n≥2，n∈N^*），a₁=
1
2
．
（1）求证：数列{
1
Sn
}是等差数列；
（2）若a_n+4S_n＞0对任意正整数n恒成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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9．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=1，S_n+1=4a_n+2．
（1）设数列{b_n}中，b_n=a_n+1-2a_n，求证：{b_n}是等比数列．
（2）设数列{c_n}中，c_n=
an
2n
，求证：{c_n}是等差数列．
（3）求数列{a_n}的通项公式及前n项和．

难度：中等

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10．已知f（x）是定义在正整数集N^*上的函数，当x为奇数时，f（x+1）-f（x）=1，当x为偶数时，f（x+1）-f（x）=3且满足f（1）+f（2）=5．
（1）求证：{f（2n-1）}（n∈N^*）是等差数列；
（2）求f（x）的解析式．

难度：中等

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