知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=1，
（1）求证数列数列{
1
Sn
}是等差数列
（2）求a_n．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}、{b_n}满足：a_n+1=a_n+1，b_n+1=b_n+
1
2
an，c_n=an2-4b_n，n∈N^*：
（1）若a₁=1，b₁=0，求数列{a_n}、{b_n}的通项公式：
（2）证明：数列{c_n}是等差数列：
（3）定义f_n（x）=x²+a_nx+b_n，证明：若存在K∈N^*，使得a_k、b_k为整数，且f_k（x）有两个整数零点，则必有无穷多个f_n（x）有两个整数零点：

难度：中等

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3．数列{a_n}满足a_n=6-
9
an-1
（n∈N^*，n≥2）．
（1）求证：数列{
1
an-3
}是等差数列；
（2）若a₁=6，求数列{|lga_n|}的前999项的和．

难度：中等

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4．已知各项不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=
1
2
a_n•a_n+1（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）设数列{b_n}满足：b_n=2an-2an+1，且
lim
n→∞
（b_kb_k+1+b_k+1b_k+2+…+b_nb_n+1）=
1
384
，求正整数k的值；
（3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{c_k}中，c₁=1，
ck+1
ck
=
k-m
ak+1
，求c₁+c₂+…+c_m．

难度：中等

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5．数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．
（I）证明：数列{
an
n
}是等差数列；
（Ⅱ）若T_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）ⁿ⁺¹•a_n，求T_n．

难度：中等

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6．如果数列{a_n}、{b_n}是项数相同的两个等差数列，p，q是常数，那么数列{pa_n+qb_n}是等差数列吗？为什么？

难度：较易

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7．已知数列{a_n}满足a₁=
1
5
，且当n≥2，有
an-1
an
=
2an-1+1
1-2an
．
（1）求证：数列 {
1
an
}为等差数列；
（2）试问a₁a₂是否是数列{a_n}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_na_n+1=3a_n，a₁=3．
（1）求证：数列{
1
an
}是等差数列；
（2）设b_n=a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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9．在数列{a_n}中，已知a₁=3，a_n=a_n-1-4．
（1）这个数列是否是等差数列？若是，写出它的公差d．
（2）求出这个数列的第61项．

难度：较易

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10．数列{a_n}满足a₁=1，
1
2an+1
=
1
2an
+1（n∈N）
（I）求证：数列{
1
an
}是等差数列；
（Ⅱ）设T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求T_n．

难度：中等

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