知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，d为常数，已知对∀n，m∈N^*，当n＞m，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d成立
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）探究：命题p：“对∀n，m∈N^*，当n＞m时，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d”是命题q：“数列{a_n}是等差数列”的充要条件吗？请证明你的结论；
（3）若正整数n，m，k成等差数列，比较S_n+S_k与2S_m的大小，并说明理由．

难度：较难

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2．已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，且a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=cn²-na_n（c为常数），且{b_n}也是等差数列，求c．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（其中n∈N^*）
（1）设b_n=
an
2n
，证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）设c_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•
2an+1
3n+2
（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立；
（3）设d_n=
(3n+5)•2n-1
an•an+1
，数列{d_n}的前n项和为T_n，求证：
2
5
≤T_n＜
1
2
．

难度：较难

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4．已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1=a_n+
an+n2+n
n
．
（1）证明：数列{
an
n
}为等差数列；
（2）若数列{b_n}满足a_nb_n=2ⁿn²-n³，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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5．已知首项都是1的两个数列{a_n}，{b_n}（b_n≠0．n∈N^*）满足a_nb_n+1-a_n+1b_n+2b_n+1b_n=0．令c_n=
an
bn
，求证数列{c_n}是等差数列，并求{c_n}的通项公式．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}中，a₁=5，且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*）．
（1）证明：数列{
an-1
2n
}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=lg3ⁿ-lg2ⁿ⁺¹，求证：{a_n}是等差数列．

难度：较易

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8．已知正项数列{a_n}，前n项和为S_n，且有
Sn
=λa_n+c．
（1）求证：λc≤
1
4
；
（2）若λ=1，c=0，求证：S_n≥（
n+1
2
）²；
（3）若2a₂=a₁+a₃，求证：{a_n}为等差数列．

难度：较难

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9．在数列{a_n}中，若a_n+1是a_n和a_n+2的等差中项，数列{a_n}是否是等差数列？说明理由．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1=4-
4
an
（n∈N^*），令b_n=
1
an-2

（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设c_n=（a_2n-1-2）（a_2n+1-2），求数列{c_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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