知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足：a₁a₂…a_n=1-a_n，n∈N^*．
（1）证明：{
1
1-an
}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记T_n=
1(n=1)
a1a2…an-1(n≥2)
（n∈N^*），S_n=T₁+T₂+…+T_n，证明：
1
2
≤S_2n-S_n＜
3
4
．

难度：较难

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2．已知数列A_n：a₁，a₂，…，a_n．如果数列B_n：b₁，b₂，…，b_n满足b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，其中k=2，3，…，n，则称B_n为A_n的“衍生数列”．
（Ⅰ）写出数列A₄：2，1，4，5的“衍生数列”B₄；
（Ⅱ）若n为偶数，且A_n的“衍生数列”是B_n，证明：b_n=a₁；
（Ⅲ）若n为奇数，且A_n的“衍生数列”是B_n，B_n的“衍生数列”是C_n，…．依次将数列A_n，B_n，C_n，…的首项取出，构成数列Ω：a₁，b₁，c₁，…．证明：Ω是等差数列．

难度：较难

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3．已知数列{a_n}满足a₁=
2
5
，且对任意n∈N^*，都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2
．
（Ⅰ）求证：数列{
1
an
}为等差数列；
（Ⅱ）试问数列{a_n}中a_k•a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．
（Ⅲ）令bn=
2
3
(
1
an
+5)，证明：对任意n∈N*，都有不等式2bn＞bn2成立．

难度：较难

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4．点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线C：x²=2y上的不同两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P（x₀，y₀）．
（1）求证：x₀是x₁与x₂的等差中项；
（2）若直线AB过定点M（0，1），求证：原点O是△PAB的垂心；
（3）在（2）的条件下，求△PAB的重心G的轨迹方程．

难度：中等

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5．已知f（n）=
2n
n+2
，若数列{a_n}满足a₁=
1
2
，a_n=f（a_n-1）（n≥2），求证{
1
an
}为等差数列．

难度：中等

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6．已知数列a_n}满足
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
an-1an
=
n-1
a1an
（n≥3），求证：{a_n}是等差数列．

难度：中等

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7．已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+2+2
anan+2
=4a_n+1-a_n（n∈N^*），且a₁=1，a₂=4．
（1）证明：数列{
an
}是等差数列；
（2）数列{
4n+2
anan+1
}的前项n和为S_n，求证：S_n＜2．

难度：中等

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8．设数列{a_n}满足a₁=0，na_n+1-（n+1）a_n=n²+n+1，n∈N^*．
（1）证明：{
an+1
n
}为等差数列：
（2）求数列{a_n}的通项公式：
（3）证明：
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
＜
3
4
．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且满足2S_n=
a
2
n
+n-4
（1）求证{a_n}为等差数列；
（2）求{a_n}的通项公式．

难度：中等

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