知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}为等差数列，a₄=9，且a₈+a₂=22
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）若点A_n（a_n，b_n）在函数y=3^x的图象上，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=3^ax+b的图象经过点A（1，3），记递增数列{a_n}满足a_n=log₃f（n）（n∈N^*），数列{a_n}的第1项，第2项，第5项成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
an
2n
，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n的前n项和．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=3^ax+b的图象经过点A（1，3），记递增数列{a_n}满足a_n=log₃f（n），n∈N^*，数列{a_n}的第1项，第2项，第5项成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
an
2n
，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＜m（m∈Z）对n∈N^*恒成立，求m的最小值．

难度：中等

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4．已知正项数列{a_n}满足a_nⁿ+na_n-1=0（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂；
（2）判断函数f（x）=xⁿ+nx-1，x＞0的单调性；
（3）求证：0＜a_n＜1．

难度：较难

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5．某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%．由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金100万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年后该项目的资金为a_n万元．
（1）写出数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃，并猜想写出通项a_n．
（2）求经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过2千万元．

难度：较难

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6．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c经过坐标原点，当x=
1
3
时有最小值-
1
3
，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=
1
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜
m
20
对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

难度：中等

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7．已知f（x）是定义在正整数集N^*上的函数，当x为奇数时，f（x+1）-f（x）=1，当x为偶数时，f（x+1）-f（x）=3且满足f（1）+f（2）=5．
（1）求证：{f（2n-1）}（n∈N^*）是等差数列；
（2）求f（x）的解析式．

难度：中等

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8．已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，设数列{a_n}的前n项和为S_n=f（n）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=（
3
） an+5，c_n=
6bn2+bn+1-bn
bnbn+1
，{c_n}前n项和为T_n，T_n＞n+m（n∈N^*，n≥2）恒成立，求m的取值范围．

难度：中等

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9．设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函数f（x）=
1
2
+log₂（
x
1-x
）的图象上的任意两点．
（1）当x₁+x₂=1，求f（x₁）+f（x₂）的值；
（2）设S_n=f（
1
n+1
）+f（
2
n+1
）+f（
3
n+1
）…f（
n-1
n+1
）+f（
n
n+1
），其中n∈N^*，求S_n．

难度：中等

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10．设数列{a_n}的前n项和S_n=aqⁿ+b（a，b为非零实数，q≠0且q≠1）．
（1）当a，b满足什么关系式，{a_n}是等比数列；
（2）若{a_n}为等比数列，证明：以（a_n，S_n）为坐标的点都落在同一条直线上．

难度：中等

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