知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bⁿ的线段，其中常数b＞0且b≠1，数列{x_n}由f（x_n）=n（n=0，1，2…）定义．
（1）若b=3，求x₁，x₂；
（2）求x_n的表达式及f（x）的解析式（不必求f（x）的定义域）；
（3）当b＞1时，求f（x）的定义域，并证明y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的公共点．

难度：中等

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2． A、B是函数f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
的图象上的任意两点，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知点M的横坐标为
1
2
．
（Ⅰ）求证：M点的纵坐标为定值；
（Ⅱ）若S_n=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），n∈N₊且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知数列{a_n}的通项公式为an=
2
3
(n=1)
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
(n≥2，n∈N+)
．T_n为其前n项的和，若T_n＜λ（S_n+1+1），对一切正整数都成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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3．已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2．数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得Tn＜
m
2016
对所有的（n∈N^*）都成立的最小正整数m．

难度：中等

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4．已知f(x)=
1
4x+2
(x∈R)，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函数y=f（x）图象上两点，且线段P₁P₂中点P的横坐标是
1
2
．
（1）求证点P的纵坐标是定值；
（2）若数列{a_n}的通项公式是an=f(
n
m
)（m∈N^*），n=1，2…m），求数列{a_n}的前m项和S_m；
（3）在（2）的条件下，若m∈N^*时，不等式
am
Sm
＜
am+1
Sm+1
恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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5．设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f′（x）表示f（x）的导函数．
（1）求函数y=f（x）的单调增区间；
（2）当k为偶数时，数列{a_n}满足：a₁=1，a_nf′（a_n）=a_n+1²-3．证明：数列{a_n²}中的任意三项不能构成等差数列；
（3）当k为奇数时，证明：对任意正整数都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．

难度：难

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6．已知函数f（x）=ax²+bx+c满足：f（1）=3，且f（x）在R上为奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n
n
)，若不等式
mn
Sn
＜
mn+1
Sn+1
对n∈N⁺恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=1，an+1=
f(an)
2f(an)+3
；b₁=1，bn+1-bn=
1
an
，记g(n)=
1
a
n，(n为奇数)
bn，(n为偶数)
，问是否存在k∈N，使g（k+1）=2g（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由．

难度：中等

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7．已知正项数列{a_n}中a₁=2，点(
an
，an+1)在函数f(x)=
1
3
x3+x的导函数y=f'（x）图象上，数列{b_n}中，点（b_n，S_n）在直线y=-
1
2
x+3上，其中S_n是数列{b_n}的前n项和（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足cn=
1
2
anbn，且数列{c_n}的前n项和T_n，求证：Tn＜
15
4
．

难度：较难

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8．已知实系数二次函数f（x）=ax²+bx+c对任何-1≤x≤1，都有|f（x）|≤1．
（1）若f（x）=2x²-1，g′（x）=f（x），且g（0）=0，数列{a_n}满足a_n=g（a_n-1），问数列{a_n}能否构成等差数列，若能，请求出满足条件的所有等差数列；若不能，请说明理由；
（2）求|a|+|b|+|c|的最大值．

难度：较难

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9．已知F（x）=f（x+
1
2
）-2是R上的奇函数，a_n=f（0）+f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）+f（1）（n∈N^*），若b_n=
1
an•an+1
，记{b_n}的前n项和为S_n，则
lim
n→∞
S_n= ．

难度：较易

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10．已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=
2x
1-2x
，x≠
1
2
-1，x=
1
2
的图象上的任意两点，点M在直线x=
1
2
上，且
AM
=
MB
．
（1）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值；
（2）已知S₁=0，当n≥2时，Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n-1
n
)，设an=2Sn，T_n为数列{a_n}的前n项和，若存在正整数c，m，使得不等式
Tm-c
Tm+1-c
＜
1
2
成立，求c和m的值．
（3）在（2）的条件下，设bn=31-Sn，求所有可能的乘积b_i•b_j（1≤i≤j≤n）的和．

难度：较难

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