知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．对于数列{a_n}，称P(ak)=
1
k-1
(|a1-a2|+|a2-a3|+…+|ak-1-ak|)（其中k≥2，k∈N）为数列{a_n}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（a_k+1）＜P（a_k），则称数列{a_n}为“趋稳数列”．
（1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；
（2）若各项均为正数的等比数列{b_n}的公比q∈（0，1），求证：{b_n}是“趋稳数列”；
（3）已知数列{a_n}的首项为1，各项均为整数，前k项的和为S_k．且对任意k≥2，k∈N，都有3P（S_k）=2P（a_k），试计算：
C
2
n
P(a2)+2
C
3
n
P(a3)+…+(n-1)
C
n
n
P(an)（n≥2，n∈N）．

难度：较难

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2．设函数f（x）=
x
2
+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列{x_n}．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）令b_n=
xn
2π
，设数列{
1
bn•bn+1
}的前n项和为s_n，求证S_n＜
3
2
．

难度：中等

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3．已知f（x）=（a-ln x）x-1．
（I）不等式f（x）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）已知正项数列{a_n}满足a₁=e，a_n+1=
an-1
lnan
，求证：a_n＞e
1
2n
．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=log₂x，g（x）=x²+2x，数列{a_n}的前n项和记为S_n，b_n为数列{b_n}的通项，n∈N^*．点（b_n，n）和（n，S_n）分别在函数f（x）和g（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令C_n=
1
an•f(b2n-1)
，求数列{C_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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5．已知函数f(x)= |2x-2-2|（x∈R）．
（1）解不等式f（x）＜2；
（2）数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），S_n为{a_n}的前n项和，对任意的n≥4，不等式Sn+
1
2
≥kan恒成立，求实数k的取值范围．

难度：较难

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6．已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且a₁=1，a₂=4，S_n+1=5S_n-4S_n-1（n≥2），等差数列{b_n}满足b₆=6，b₉=12，
（1）分别求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若对于任意的n∈N^*，（S_n+
1
3
）•k≥b_n恒成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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7．如图所示，折线B₀A₁B₂A₂B₃A₃…中线段分别平行于x轴或y轴，A₁，A₂，…，A_n…这些点在函数y=
2
x-1
（x＞1）图象上，B₁，B₂…B_n…这些点在直线y=x上，设点A_n的纵坐标为y_n．
（1）用y_n表示y_n+1（n∈N^*）；
（2）若B₀（
11
5
，0），请写出数列{y_n}的所有项；
（3）设B₀（x₀，0），当x₀为何值时，数列{y_n}是一个无穷的常数列．

难度：中等

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8．已知二次函数f（x）=x²+ax+b图象的对称轴为x=
1
2
，且f（1）=0，数列{a_n}满足a_n=f（2n+1）-f（2n）-1．
（1）求数列{a_n}的前30项和；
（2）若a_m，a_t（m，t∈N^*）是数列{a_n}中的项，试判断2a_m+3a_t是否是数列{a_n}中的项，并说明理由．

难度：中等

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9．二次函数f（x）的图象过原点，且对∀x∈R，恒有-3x²-1≤f（x）≤6x+2．设数列{a_n}满足a₁=
1
3
，a_n+1=f（a_n）
（I）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）证明：a_n+1＞a_n；
（Ⅲ）证明：
n
2
-
1
4
≤a₁+a₂+…+a_n＜
n
2
（n∈N⁺）

难度：中等

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10．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=1g（
n2+1
-n），判断数列{a_n}是否为单调数列，如是，请说明{a_n}的单调性；如不是，请说明理由．

难度：较易

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