知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}是公比为正整数的等比数列，若a₂=2且a₁，a₃+
1
2
，a₄成等差数列，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）定义：
n
P1+P2+…+Pn
为n个正数P₁，P₂，P₃，…，P_n（ n∈N*）的“均倒数”，
（ⅰ）若数列{b_n}前n项的“均倒数”为
1
2an-1
（n∈N*），求数列{b_n}的通项b_n；
（ⅱ）试比较
1
b1
+
2
b2
+…+
n
bn
与2的大小，并说明理由．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}的首项a₁=1，a₂=3，前n项和为S_n，且S_n+1，S_n，S_n-1（n＞1）分布是直线l上的点A，B，C的横坐标，
AB
=
2an+1
an
BC
，设b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（1）判断数列{a_n+1}是否为等比数列，并证明你的结论；
（2）设Cn=
4
bn+1-1
n+1
anan+1
，证明：C₁+C₂+C₃+…+C_n＜1．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}满足：a_n+1=a_n²-2a_n+2，a₁=3，a_n＞0（n∈N^*）．
（1）证明：数列{ln（a_n-1）}是等比数列；
（2）设b_n=
1
an
+
1
an-2
，S_n为数列{b_n}前n项的和，求证：S_n＜2．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=
x2
2x-2
（x≠1），各项同号且均不为零的数列{a_n}的前n项和S_n满足4S_n•f（
1
an
）=1（n∈N^*）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：（1-
1
an
）^a_n+1＜
1
e
．

难度：中等

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5．已知正项数列{a_n}的前n项和S_n，满足S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=
2
an
，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：当k＞7且k∈N时，对任意n∈N，都有T_nk-1-T_n-1＞
3
2
．

难度：中等

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6．非负实数a₁，a₂，…a_n，满足a₁a₂…a_n=1，对于n≥4，证明
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
+
3n
a1+a2+…+an
≥n+3．

难度：中等

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7．若数列{a_n}满足a_n=
4，n=1
2n+1，n＞1
且数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求S_n；
（2）求证：
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
＞
n
2n+4
．

难度：中等

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8．在数列{a_n}中，已知a_n+1a_n=2a_n-a_n+1．且a₁=2（n∈N^*）．
（1）求证：数列{
1
an
-1}是等比数列；
（2）设b_n=a_n²-a_n，且S_n为{b_n}的前n项和，试证：2≤S_n＜3．

难度：中等

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9．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，S_n是它的前n项之和，T_n是它的前n项倒数之和，并且a₁₀²=a₁₅，求满足不等式S_n＞T_n的最小自然数．

难度：中等

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10．已知函数y=f（x）的图象经过坐标原点，且f（x）=x²-x+b，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足a_n+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ）设P_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2，Q_n=a₁₀+a₁₂+a₁₄+…+a_2n+8，其中n∈N^*，试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论．

难度：中等

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