知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1=qa_n+d（q，d为常数）．
（1）当q=1，d=2时，求a₂₀₁₇的值；
（2）当q=3，d=-2时，记bn=
1
an-1
，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，证明：Sn＜
1
2
．

难度：中等

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2．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，其前n项和为S_n，若S₉=99，且a₄，a₇，a₁₂成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若Tn=
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
，证明：Tn＜
3
4
．

难度：中等

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3．给定数列{a_n}，记该数列前i项a₁，a₂，…，a_i中的最大项为A_i，即A_i=max{a₁，a₂，…，a_i}；该数列后n-i项a_i+1，a_i+2，…，a_n中的最小项为B_i，即B_i=min{a_i+1，a_i+2，…，a_n}；d_i=A_i-B_i（i=1，2，3，…，n-1）
（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d₁，d₂，d₃；
（2）若S_n是数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*，有(1-λ)Sn=-λan+
2
3
n+
1
3
，其中λ为实数，λ＞0且λ≠
1
3
，λ≠1．
①设bn=an+
2
3(λ-1)
，证明数列{b_n}是等比数列；
②若数列{a_n}对应的d_i满足d_i+1＞d_i对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}满足a₁=
2
5
，且对任意n∈N^*，都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2
．
（Ⅰ）求证：数列{
1
an
}为等差数列；
（Ⅱ）试问数列{a_n}中a_k•a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．
（Ⅲ）令bn=
2
3
(
1
an
+5)，证明：对任意n∈N*，都有不等式2bn＞bn2成立．

难度：较难

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5．设a＞2，给定数列{a_n}，a₁=a，a_n+1=
an2
2(an-1)
（n∈N⁺）．求证：a_n＞2，且a_n+1＜a_n（n∈N⁺）．

难度：较难

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6．已知数列{a_n}的通项公式为an=
n+1
2
，n=2k-1(k∈N*)
2
n
2
，n=2k(k∈N*).

设bn=
a2n-1
a2n
，Sn=b1+b2+…+bn．证明：当n≥6时，|Sn-2|＜
1
n
．

难度：难

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7．已知a_n=4n+5，b_n=3ⁿ，求证：对任意正整数n，都存在正整数p，使得a_p=b_n²成立．

难度：较难

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8．已知数列{a_n}中各项都不为零，且a₁=1，a_n+1=
an
3+2an

（1）证明：数列{
1
an
+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：
a1
a1+1
+
a2
a2+1
+
a3
a3+1
+…+
an
an+1
＜
3
4
．

难度：中等

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9．设数列{
1
4n2
}的前n项和为T_n，求证：
n
4n+4
＜T_n＜
1
2
．

难度：中等

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10．已知n∈N^*，求证：
1
2+1
+
2
22+2
+
3
23+3
+…+
n
2n+n
＜
3
2
．

难度：中等

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