知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．数列{a_n}各项均为正数，a₁=
1
2
，且对任意的n∈N^*，都有a_n+1=a_n+ca_n²（c＞0）．
（1）求
c
1+ca1
+
c
1+ca2
+
1
a3
的值；
（2）若c=
1
2016
，是否存在n∈N^*，使得a_n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．已知数列{x_n}满足x₁=1，x₂=λ，并且
xn+1
xn
=λ
xn
xn-1
（λ为非零常数，n=2，3，4，…）．
（Ⅰ）若x₁，x₃，x₅成等比数列，求λ的值；
（Ⅱ）设0＜λ＜1，常数k∈N^*，证明
x1+k
x1
+
x2+k
x2
+…+
xn+k
xn
＜
λk
1-λk
(n∈N*)．

难度：中等

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3．在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项的和，已知a₁+a₃=22，S₅=45．
（1）求a_n，S_n；
（2）设数列{S_n}中最大项为S_k，求k．

难度：较易

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4．正项数列a₁，a₂，…，a_m（m≥4，m∈N^*）满足：a₁，a₂，a₃，…，a_k-1，a_k（k＜m，k∈N^*）是公差为d的等差数列，a₁，a_m，a_m-1，…，a_k+1，a_k是公比为2的等比数列．
（1）若a₁=d=2，k=8，求数列a₁，a₂，…，a_m的所有项的和S_m；
（2）若a₁=d=2，m＜2016，求m的最大值；
（3）是否存在正整数k，满足a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=3（a_k+1+a_k+2+…+a_m-1+a_m）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，
Sn
n
）在直线y=
1
2
x+
11
2
上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=
3
(2an-11)(2an+1-11)
，求数列{b_n}的前n项和为T_n，并求使不等式T_n＞
k
20
对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

难度：中等

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6．数列{a_n}的前n项和为Sn=2n+1-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且b₁，b₃，b₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若cn=
2
bn+2•log2an
，数列{c_n}的前n项和为 T_n，求证：Tn＜
3
4
．

难度：中等

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7． S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，都有S_n=2a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{
1
an
}的前n项和为T_n，求使得|T_n-2|＜
1
500
成立的n的最小值．

难度：中等

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8．已知函数f（x）的定义域为实数集R，
（1）若函数f（x）=2^xsin（πx），证明f（x+2）=4f（x）；
（2）若f（x+T）=kf（x）（k＞0，T＞0），若f（x）=a^xφ（x）（其中a为正的常数），试证明函数φ（x）是以T为周期的周期函数；
（3）若f（x+6）=
2
f（x），且当x∈[-3，3]时，f（x）=
1
10
x（x²-9），记S_n=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n-2）n∈N^*，求使得S₁、S₂、S₃…S_n小于1000都成立的最大整数n．

难度：较难

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9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-2．（n≥2）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若x_n=1+
1
an
，设数列{x_n}的前n项积为T_n，求证：
①（1+
1
2n-1
）＜（1+
1
2n
）²（n∈N^*）；
②T_n≤2（1+
1
2n
） 2n-2（n∈N^*）．

难度：中等

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10．已知等差数列{a_n}中，a₃=-13，a₅=-11，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿ
.
an+1
.
（n＜16），求数列{b_n+
1
an
}的最大值和最小值；
（3）若c_n=a_n+16+
1
(an+16)2
，记数列{c_n}前n项和为S_n．
求证：
n2(n+1)+3n-1
2n
≤S_n≤
6n3+9n2+23n-2
6(2n+1)
．

难度：较难

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