知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，对任意的n∈N^*都有a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ，记b_n=
an-2n
3n
（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求S_n；
（3）证明：存在k∈N^*，使得
an+1
an
≤
ak+1
ak
．

难度：较难

解析收藏试题篮
2．已知数列{a_n}满足a₁=
3
2
，且a_n+1=3a_n-1，b_n=a_n-
1
2
．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列．
（2）若不等式
bn+1
bn+1-1
≤m对∀n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

解析收藏试题篮
3．已知数列{a_n}满足：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=
n2
2
（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n为数列{b_n}的前n项和，对于任意的正整数n，S_n＞2λ-
1
3
恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

解析收藏试题篮
4．已知各项均为正数的数列{a_n}满足：a_n+1=
an
2
+
1
2
（n∈N₊）．
（1）若（a₁-1）（a₂-2）＜0，求a₁的范围；
（2）设max{a，b}表示a、b两数中较大的数．试证明：对任意的n∈N₊，都有a_n≤max{1，a₁}．

难度：较难

解析收藏试题篮
5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足an+Sn=An2+Bn+C（A≠0，n∈N^*）．
（1）当C=1时，
①设b_n=a_n-n，若a1=
3
2
，a2=
9
4
．求实数A，B的值，并判定数列{b_n}是否为等比数列；
②若数列{a_n}是等差数列，求
B-1
A
的值；
（2）当C=0时，若数列{a_n}是等差数列，a₁=1，且∀n∈N^*，λ-
3
n+1
≤
n
i=1
1+
1
a
2
i
+
1
a
2
i+1
，求实数λ的取值范围．

难度：较难

解析收藏试题篮
6．已知数列a_n=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
（n∈N^*）
（1）若a＞1，对于任意n≥2，不等式a_2n-a_n＞
7
12
（log_（a+1）x-1og_ax+1）恒成立，求x的取值范围；
（2）求证：
a
2
n
+
7
4
＞2（a₁+
a2
2
+
a3
3
+…+
an
n
）（n∈N^*）

难度：较难

解析收藏试题篮
7．已知数列{a_n}是各项正数首项1等差数列，S_n为其前n项和，若数列{
Sn
}也为等差数列，则
Sn+8
an+1
的最小值是．

难度：中等

解析收藏试题篮
8．已知函数y=f（x）的定义域为[0，+∞），且对于任意x₁，x₂∈[0，+∞），存在正实数L，使得|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|均成立．
（1）若f（x）=
1+x
，x∈[0，+∞），求实数L的取值范围；
（2）当0＜L＜1时，正项数列{an}满足a_n+1=f（a_n），（n=1，2，…）
①求证：
n
k=1
|a_k-a_k+1|≤
1
1-L
•|a₁-a₂|；
②如果令A_k=
a1+a2+…+an
k
（k=1，2，3，…），
求证：
n
k=1
|A_k-A_k+1|≤
1
1-L
•|a₁-a₂|．

难度：中等

解析收藏试题篮
9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+1，数列{b_n}满足：b_n=
2
an+1
，前n项和为T_n．设C_n=T_2n+1-T_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式．
（2）求证：数列{C_n}是单调递减数列；
（3）若对n≥k时．总有C_n＜
16
21
成立．求自然数k的最小值．

难度：中等

解析收藏试题篮
10．三个数学爱好者各自出题给对方做．
甲出的题目是：（1）证明不等式
x
1+x
＜ln（1+x）＜x，x＞0；
乙出的题目是：（2）在数列{a_n}中，已知a₁=
1
2
，且
anan-1
an-1-an
=1+
1
n2-n-1
，求数列{a_n}的通项公式a_n；
丙看完后出的题目是：在（2）中，设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明：-1+lnn＜S_n≤
1
2
+lnn．

难度：中等

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷