知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=
1
1+px+qx2
（其中p²+q²≠0），且存在公差不为0的无穷等差数列{a_n}，使得函数在其定义域内还可以表示为f（x）=1+a₁x+a₂x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…
（1）求a₁，a₂的值（用p，q表示）；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）当n∈N^*且n≥2时，比较（a_n-1）^a_n与（a_n） an-1的大小．

难度：中等

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2．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n，首项a₁=a，公比为q（q≠0且q≠1）．
（1）推导证明：S_n=
a(1-qn)
1-q
；
（2）等比数列{a_n}中，是否存在连续的三项：a_k、a_k+1、a_k+2，使得这三项成等差数列？若存在，求出符合条件的等比数列公比q的值，若不存在，说明理由；
（3）本题中，若a=q=2，已知数列{na_n}的前n项和T_n，是否存在正整数n，使得T_n≥2016？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n+1=2S_n+a₁，且a₁，a₂+2，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）证明
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
＜
3
2
对任意正整n成立．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=ax+
a-1
x
+（1-2a）（a＞0）
（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）+
n
2(n+1)
（n≥1）．

难度：较难

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5．已知数列{a_n+1}是等比数列，a₃=3，a₆=31，数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=1，且nS_n+1-（n+1）S_n=
1
2
n（n+1）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=
bn
an+1
，数列{c_n}的前n项和为T_n，若不等式T_n≥m-
9
2n
对于n∈N^*恒成立，求实数m的最大值．

难度：较难

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6．已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₄=20，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog
1
2
a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

难度：较难

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7．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=
an
2an+1
（n∈N）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当n≥2，n∈N时，不等式a_n+1+a_n+2+…+a_2n＞
12
35
（log₃m-log₂m+1）恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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8．正项数列{a_n}的前n项和S_n满足12S_n=
a
2
n
+6a_n+5．且a₁＜2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使T_n＜
m
20
对所有n∈N^*都成立的最小正整数m；
（3）记C_n=
1
2
（
an+1
an
+
an
an+1
）（n∈N^*），求和：B_n=C₁+C₂+…+C_n．

难度：中等

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9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且{
Sn
n
}是等差数列，已知a₁=1，
S2
2
+
S3
3
+
S4
4
=12．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^*，a_n+1+
16
an
≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}的前n项和S_n=a_n+n²-1，数列{b_n}满足：b₁+3b₂+5b₃+…+（2n-1）•b_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=
a1
b1
+
a2
b2
+
a3
b3
+…+
an
bn
，求满足T_n＜
11
6
的n的取值集合．

难度：中等

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