知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n=3+2ⁿ ，求a_n ．

难度：中等

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2．在各项均为正数的数列{a_n}中，数列的前n项和为S_n，满足S_n=1-na_n（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）由（1）猜想出数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

难度：较易

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3．已知数列{a_n}前n项和为S_n，a₁=- $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ ，且S_n+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BSn%7D$ +2=a_n（n≥2）．
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄的值，猜想S_n的解析式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．

难度：较易

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4．已知数列{a_n}的前n项和S_n=3+2ⁿ，求a_n．

难度：较易

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5．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且满足2S_n=3a_n- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ （n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄，并猜想通项公式an（不用证明）；
（2）设b_n=1+2log₃（2a_n），求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7B1%7Db_%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7B2%7Db_%7B3%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7Bn%7Db_%7Bn%2B1%7D%7D$ ＜ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．

难度：较易

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6．设数列{a_n}满足 $a_%7B1%7D%3D2%EF%BC%8Ca_%7Bn%2B1%7D%3D%20a_%7B%20n%20%7D%5E%7B%202%20%7D-na_%7Bn%7D%2B1%EF%BC%8Cn%E2%88%88N%5E%7B*%7D$ ．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）猜想a_n的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：较易

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7．已知数列{a_n}满足 $a_%7B1%7D%3D3%EF%BC%8Ca_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7Bn-1%7Da_%7Bn-1%7D%28n%E2%89%A52%29$ ．
（1）写出数列{a_n}的前三项；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：较易

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8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并写出其通项公式；
（Ⅱ）用三段论证明数列{a_n}是等比数列．

难度：中等

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9．已知f0(x)=x•ex，f₁（x）=f′₀（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）（n∈N^*）．
（Ⅰ）请写出f_n（x）的表达式（不需证明）；
（Ⅱ）设f_n（x）的极小值点为P_n（x_n，y_n），求y_n；
（Ⅲ）设gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，g_n（x）的最大值为a，f_n（x）的最小值为b，试求a-b的最小值．

难度：中等

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10．如图，正方形ABCD的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形A₁B₁C₁D₁；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小的正方形A₂B₂C₂D₂；如此无限继续下去，设各正方形的边长依大小顺序构成数列{a_n}．
（1）写出a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，请说明理由；并求出所有正方形的周长之和．

难度：中等

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