知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量
m
=（
3
sin
x
4
，1），
n
=（cos
x
4
，cos²
x
4
）．记f（x）=
m
•
n

（1）求f（x）的值域和单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，若f(A)=
1+
3
2
，试判断△ABC的形状．

难度：中等

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2．已知A，B分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)的左右顶点，F₁是椭圆C的左焦点，|AF1|=2-
3
，离心率e=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆C上异于A，B的任意一点，且PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得|HP|=|PQ|，连接AQ，并延长AQ交直线l：x=2于M点，N为MB中点，求
OQ
•
QN
的值，并判断以O为圆心，OQ为半径的圆与直线QN的位置关系．

难度：较难

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3．已知向量
m
=(sinx，-1)，
n
=(cosx，3)．
（1）设函数f(x)=(
m
+
n
)•
m
，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，
3
c=2asin(A+B)，对于（1）中的函数f（x），求f(B+
π
8
)的取值范围．

难度：中等

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4．已知平面直角坐标系中，A（cosx，sinx），B（1，1），
OA
+
OB
=
OC
，f（x）=|
OC
|²．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2π]上的单调递增区间．

难度：较易

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5．已知
a
=(sinx，cosx)，
b
=(sinx，cosx-2sinx)，
a
•
b
=
1
5
，x∈(0，
π
4
)．
（1）求sin2x的值；
（2）求tan(2x-
π
4
)及cos(x+
π
3
)的值．

难度：中等

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6．设坐标原点为O，抛物线y²=4x与过抛物线焦点的直线l交于点A、B，则向量

•

的值为（　　）

A．

B．-

C．-3

D．3

难度：中等

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7．已知向量
m
=（cos
x
3
，
3
cos
x
3
），
n
=（sin
x
3
，cos
x
3
），函数f（x）=
m
•
n
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）如果△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．

难度：中等

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8．已知向量
m
=（cos
x
3
，
3
cos
x
3
），
n
=（sin
x
3
，cos
x
3
），函数f（x）=
m
•
n
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间及其图象的对称中心．

难度：中等

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9．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上有高，以下结论：其中正确的是．（写出所有你认为正确的结论的序号）
①A
H
•(A
B
+B
.
C
)=A
H
•A
B

②A
H
•A
C
=A
H

③A
C
•
A
H
|A
H
|
=csinB
④B
C
•(A
C
-A
B
)=b2+c2-2bccosA．

难度：较难

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10．已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜π
（Ⅰ）求|
a
|的值；
（Ⅱ）求证：
a
+
b
与
a
-
b
互相垂直；
（Ⅲ）设|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，求β-α的值．

难度：中等

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