知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

已知向量\( \overrightarrow{a}=(\sin θ,-2), \overrightarrow{b}=(1,\cos θ)\)，且\( \overrightarrow{a}⊥ \overrightarrow{b}\)，则\(\sin 2θ+\cos ^{2}θ\)的值为\((\)　　\()\)

A．\(1\)

B．\(2\)

C．\( \dfrac {1}{2}\)

D．\(3\)

难度：较易

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2．
已知向量\( \overset{ .}{a}=(\sin (x+ \dfrac {π}{6}),1)\)，\( \overrightarrow{b}=(4,4\cos x- \sqrt {3})\)
\((I)\)若\( \overrightarrow{a}⊥ \overrightarrow{b}\)，求\(\sin (x+ \dfrac {4π}{3})\)的值；
\((II)\)设\(f(x)= \overrightarrow{a}⋅ \overrightarrow{b}\)，若\(α∈[0, \dfrac {π}{2}]\)，\(f(α- \dfrac {π}{6})=2 \sqrt {3}\)，求\(\cos α\)的值．

难度：较易

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3．
在平面直角坐标系中，\(A(1,-2)\)，\(B(-3,-4)\)，\(O\)为坐标原点．
\((\)Ⅰ\()\)求\( \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}\)；
\((\)Ⅱ\()\)若点\(P\)在直线\(AB\)上，且\( \overrightarrow{OP}⊥ \overrightarrow{AB},{求} \overrightarrow{OP}\)的坐标．

难度：较易

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4．
设向量\( \overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\( \overrightarrow{b}=(-3,x)\)，若\( \overrightarrow{a}⊥ \overrightarrow{b}\)，则\(x=\) ______ ．

难度：较易

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5．
如图，以原点和\(A(5,2)\)为两个顶点作等腰直角\(\triangle OAB\)，使\(∠B=90^{\circ}.\)求点\(B\)和向量\( \overrightarrow{AB}\)的坐标．

难度：较易

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6．
已知向量\( \overrightarrow{a}=(1,2), \overrightarrow{b}=(x,1)\)
\((1)\)若\( < \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} > \)为锐角，求\(x\)的范围；
\((2)\)当\(( \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b})⊥(2 \overrightarrow{a}- \overrightarrow{b})\)时，求\(x\)的值．

难度：中等

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7．
已知\( \overrightarrow{a}=( \sqrt {3},-1)\)，\( \overrightarrow{b}=( \dfrac {1}{2}, \dfrac { \sqrt {3}}{2})\)，且存在实数\(k\)和\(t\)，使得\( \overrightarrow{x}= \overrightarrow{a}+(t^{2}-3) \overrightarrow{b}\)，\( \overrightarrow{y}=-k \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}\)，且\( \overrightarrow{x}⊥ \overrightarrow{y}\)，试求\( \dfrac {k+t^{2}}{t}\)的最值．

难度：中等

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8．

已知向量\( \overrightarrow{a}=(\sin (α+ \dfrac {π}{6}),1)\)，\( \overrightarrow{b}=(4,4\cos α- \sqrt {3})\)，若\( \overrightarrow{a}⊥ \overrightarrow{b}\)，则\(\sin (α+ \dfrac {4π}{3})\)等于\((\)　　\()\)

A．\(- \dfrac { \sqrt {3}}{4}\)

B．\(- \dfrac {1}{4}\)

C．\( \dfrac { \sqrt {3}}{4}\)

D．\( \dfrac {1}{4}\)

难度：较易

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9．
已知\(| \overrightarrow{a}|=2\)，\(| \overrightarrow{b}|=3\)，\( \overrightarrow{a}\)与\( \overrightarrow{b}\)的夹角为\(120^{\circ}\)．
\((1)\)求\((2 \overrightarrow{a}- \overrightarrow{b})⋅( \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b})\)的值；
\((2)\)当实数\(x\)为何值时，\(x \overrightarrow{a}- \overrightarrow{b}\)与\( \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}\)垂直．

难度：中等

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10．

已知向量\( \overrightarrow{a}=(2,-1,3), \overrightarrow{b}=(-4,2,x)\)，使\( \overrightarrow{a}⊥ \overrightarrow{b}\)成立的\(x\)与使\( \overrightarrow{a}/\!/ \overrightarrow{b}\)成立的\(x\)分别为\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac {10}{3},-6\)

B．\(- \dfrac {10}{3},-66\)

C．\(-6\)，\( \dfrac {10}{3},-6\)

D．\(6\)，\(- \dfrac {10}{3},-6\)

难度：较易

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