知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知| $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ |=2，| $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ |=3， $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 的夹角为120°．
（1）求（2 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ - $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ）•（ $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ +3 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ）的值；
（2）当实数x为何值时，x $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ - $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ +3 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 垂直．

难度：易

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2．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bp%7D$ =（a_n，2ⁿ）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bq%7D$ =（2ⁿ⁺¹，-a_n+1），n∈N^*，向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bp%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bq%7D$ 垂直，且a₁=1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n+1，求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

难度：较易

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3．已知向量 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Ba%7D$ =（sin（x+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ），1）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（4，4cosx- $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ）
（I）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ ⊥ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ，求sin（x+ $%20%5Cfrac%20%7B4%CF%80%7D%7B3%7D$ ）的值；
（II）设f（x）= $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ，若α∈[0， $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ]，f（α- $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ）=2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，求cosα的值．

难度：较易

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4．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%3D%281%EF%BC%8C-2%29%EF%BC%8C%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%3D%282%EF%BC%8C3%29$ ．
（1）若 $%283%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D-%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%29%E2%88%A5%28%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%2Bk%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%29$ ，求k的值；
（2）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%E2%8A%A5%28m%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D-%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%29$ ，求m的值．

难度：较易

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5．已知锐角△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，定义向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ =（2sinB， $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ =（ $2cos%5E%7B2%7D%20%5Cfrac%20%7BB%7D%7B2%7D$ -1，cos2B），且 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D%E2%8A%A5%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ ．
（1）求角B的大小；
（2）求函数f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的单调递增区间；
（3）如果b=4，求△ABC的面积的取值范围．

难度：较易

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6．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D%3D%281%EF%BC%8Csin%28B-A%29%29$ ，平面向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ =（sinC-sin（2A），1）．
（I）如果 $c%3D2%EF%BC%8CC%3D%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D%EF%BC%8C%5Ctext%7B%E4%B8%94%7D%E2%96%B3ABC%5Ctext%7B%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF%7DS%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，求a的值；
（II）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D%E2%8A%A5%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ ，请判断△ABC的形状．

难度：较易

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7．已知 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%7C%3D2$ $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%7C%3D3$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%5Ctext%7B%E4%B8%8E%7D%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 的夹角为60°， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D%3D5%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%2B3%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bd%7D%3D3%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%2Bk%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ，当实数k为何值时，
（1） $%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D%E2%88%A5%20%5Coverrightarrow%20%7Bd%7D$
（2） $%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D%E2%8A%A5%20%5Coverrightarrow%20%7Bd%7D$ ．

难度：较易

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8．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D%3D%281%EF%BC%8C1%29$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D%3D%28%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D-sinBsinC%EF%BC%8CcosBcosC%29$ ，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D%E2%8A%A5%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ ．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=1， $b%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7Dc$ ．求S_△ABC．

难度：较易

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9．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n，令平面向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%3D%28m%EF%BC%8Cn%29$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%3D%281%EF%BC%8C-3%29$ ．
（Ⅰ）求使得事件“ $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%E2%8A%A5%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ”发生的概率；
（Ⅱ）求使得事件“ $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%7C%E2%89%A4%7C%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%7C$ ”发生的概率；
（Ⅲ）使得事件“直线 $y%3D%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7Bn%7Dx$ 与圆（x-3）²+y²=1相交”发生的概率．

难度：较易

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10．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（1，2）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（2，-2）．
（Ⅰ）求 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 的值；
（Ⅱ）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ +λ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 垂直，求λ的值．

难度：较易

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