知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

难度：中等

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2．已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0．

难度：中等

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3．设a₁，a₂，…，a_2n+1均为整数，性质P为：对a₁，a₂，…，a_2n+1中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等求证：a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等当且仅当a₁，a₂，…，a_2n+1具有性质P．

难度：中等

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4．用反证法证明：已知x，y∈R，且x+y＞2，则x，y中至少有一个大于1．

难度：中等

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5．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（）

A．假设至少有一个钝角

B．假设至少有两个钝角

C．假设没有一个钝角

D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角

难度：易

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6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
① A+B+C=90⁰+90⁰+C>180⁰ ，这与三角形内角和为 180⁰ 相矛盾， A=B=90⁰不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角 A 、 B 、 C 中有两个直角，不妨设 A=B=90⁰ ，正确顺序的序号为（）

A．①②③

B．③①②

C．①③②

D．②③①

难度：中等

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7．用反证法证明命题“若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ”时，下列假设的结论正确的是（）

A． $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

B． $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

C． $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

D． $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

难度：中等

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8．完成反证法证题的全过程.设a₁,a₂,…,a₇是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a₁-1)(a₂-2)…(a₇-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a₁-1,a₂-2,…,a₇-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数==0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.

难度：中等

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9．已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

难度：中等

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10．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（　　）

A．三个内角都不大于60°

B．三个内角都大于60°

C．三个内角至多有一个大于60°

D．三个内角至多有两个大于60°

难度：中等

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