知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（1）已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则 $%20%5Cfrac%20%7BOA%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BAA%5E%7B%27%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BOB%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BBB%5E%7B%27%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BOC%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BCC%5E%7B%27%7D%7D%3D1$ ，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： $%20%5Cfrac%20%7BOA%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BAA%5E%7B%27%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BOB%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BBB%5E%7B%27%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BOC%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BCC%5E%7B%27%7D%7D%3D%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3OBC%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3ABC%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3OCA%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3ABC%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3OAB%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3ABC%7D%7D%3D1$ ．
请运用类比思想，对于空间中的四面体A-BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明．
（2）已知0＜x＜2，0＜y＜2，0＜z＜2，求证：x（2-y），y（2-z），z（2-x）不都大于1．

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2．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°；
④sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°
⑤sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式，并证明你的结论．
（参考公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ，cos（α±β）=cosαcosβ∓sinαsinβsin2α=2sinαcosα，cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α）

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3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且 $a_%7B1%7D%3D1%EF%BC%8CS_%7Bn%7D%3Dn%5E%7B2%7Da_%7Bn%7D%28n%E2%88%88N_%7B%2B%7D%29$
（1）试求出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；
（2）证明你的猜想，并求出a_n的表达式．

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4．请按要求完成下列两题
（Ⅰ）已知a、b、c都为正实数，x、y分别为a与b、b与c的等差中项，且 $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D%2B%20%5Cfrac%20%7Bc%7D%7By%7D%3D2$ ，求证：a、b、c成等比数列．
（Ⅱ）数列{a_n}中，a₁=1，S_n表示前n项和，且S_n，S_n+1，2S₁成等差数列．
（1）计算S₁，S₂，S₃的值；
（2）根据以上计算结果猜测S_n的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

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5．如果一条信息有n（n＞1，n∈N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为p₁，p₂，…，p_n，则称H=f（p₁）+f（p₂）+…f（p_n）（其中f（x）=-xlog_ax，x∈（0，1））为该条信息的信息熵．已知 $f%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．
（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；
（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A₁，A₂，…，A_n）参加，若当k=1，2，…，n-1时，选手A_k获得冠军的概率为2^-k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．

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6．观察（1）sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°= $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ ；
（2）sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°= $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ ；
（3）sin²6°+cos²36°+sin6°cos36°= $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ ．
请你根据上述规律，提出一个猜想，并证明．

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7．阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=B 有α= $%20%5Cfrac%20%7BA%2BB%7D%7B2%7D$ ，β= $%20%5Cfrac%20%7BA-B%7D%7B2%7D$
代入③得 sinA+sinB=2sin $%20%5Cfrac%20%7BA%2BB%7D%7B2%7D$ cos $%20%5Cfrac%20%7BA-B%7D%7B2%7D$ ．
类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：
cosA-cosB=-2sin $%20%5Cfrac%20%7BA%2BB%7D%7B2%7D$ sin $%20%5Cfrac%20%7BA-B%7D%7B2%7D$ ．

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8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-na_n（n∈N^*）．
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中数列{a_n}的通项公式成立．

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9．设S_n为数列{a_n}的前n项和，给出如下数列：
①5，3，1，-1，-3，-5，-7，…；
②-14，-10，-6，-2，2，6，10，14，18，…．
（1）对于数列①，计算S₁，S₂，S₄，S₅；对于数列②，计算S₁，S₃，S₅，S₇．
（2）根据上述结果，对于存在正整数k，满足a_k+a_k+1=0的这一类等差数列{a_n}前n项和的规律，猜想一个正确的结论，并加以证明．

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10．已知复数z=cosθ+isinθ．
（1）求z²和z³；
（2）利用归纳推理推测zⁿ的表达式．

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