知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在锐角△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量
m
=（
1
2
，cosA），
n
=（sinA，-
3
2
），且
m
⊥
n

（1）求角A的大小；
（2）若a=7，b=8，求△ABC的面积．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=2cosxsin（x+
π
6
）+1，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[-
π
6
，
π
3
]，求函数的值域．

难度：中等

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3．已知
a
=（
3
2
，cos2x），
b
=（sin2x，
1
2
）函数f（x）=
a
•
b
+
3
2
．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

难度：较难

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4．如图，已知扇形AOB是半径为2，圆心角为
π
6
的装饰材料，点P是弧AB上的动点，△PQR为扇形的内接三角形，且PQ∥OA，某设计师计划在该扇形装饰材料上彩绘，并以△PQR为主题着色板，记∠POA=θ．
（Ⅰ）将主题着色板的面积S表示为θ的函数；
（Ⅱ）当角θ取何值时，主题着色板的面积S最大？并求出这个最大值．

难度：较难

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5．已知

=（cosx，sinx），

=（sinx，cosx），与f（x）=

•

要得到函数y=cos²x-sin²x的图象，只需将函数y=f（x）的图象（　　）

A．向左平移

个单位长度

B．向右平移

个单位长度

C．向左平移

个单位长度

D．向右平移

个单位长度

难度：较易

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6．已知OPQ是半径为1，圆心角为
π
4
的扇形，C是扇形弧上的动点．ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=θ．
（1）求当角θ取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．
（2）当矩形ABCD的面积为
6
-2
4
时，求角θ的值．

难度：较难

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7．设
a
=(sin2
π+2x
4
，cosx+sinx)，
b
=(4sinx，cosx-sinx)，f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间[-
π
2
，
2π
3
]上是增函数，求ω的取值范围．

难度：较难

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8．已知：
a
=（2cosx，sinx），
b
=（
3
cosx，2cosx），设函数f（x）=
a
•
b
-
3
（x∈R）求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的单调递增区间．

难度：中等

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9．设 A、B、C是直线l上的三点，向量
OA
，
OB
，
OC
满足关系：
OA
+(y-
3
sinxcosx)
OB
-(
1
2
+sin2x)
OC
=
0
．
（Ⅰ）化简函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数g(x)=f(
1
2
x+
π
3
)，x∈[0，
7π
12
]的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列，试求实数b的值；
（Ⅲ）令函数h（x）=
2
（sinx+cosx）+sin2x-a，若对任意的x1，x2∈[0，
π
2
]，不等式h（x₁）≤f（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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10．已知向量
m
=(
3
sinωx，0)，
n
=(cosωx，-sinωx)（ω＞0），在函数f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为
π
4
，且当x∈[0，
π
3
]时，f（x）的最大值为
3
2
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

难度：中等

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