知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛胜负情况知道，每一局甲胜的概率为\(\dfrac{2}{3} \)，乙胜的概率为\(\dfrac{1}{3} .\)如果比赛采用“五局三胜”\((\)即有一方先胜三局即获胜，比赛结束\()\)规则，设比赛场次为随机变量\(X\)．

   \((1)\)求乙胜的概率；

   \((2)\)求随机变量\(X\)的概率分布列及数学期望；

   \((3)\)求随机变量\(X\)的方差\(V(X)\)．

难度：较易

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2．

我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程\(.\)某市共有户籍人口\(400\)万，其中老人\((\)年龄\(60\)岁及以上\()\)人数约有\(66\)万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取\(600\)人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以\(80\)岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：

\((1)\)若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取\(8\)人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？

\((2)\)估算该市\(80\)岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；

\((3)\)据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：

\(①80\)岁及以上长者每人每月发放生活补贴\(200\)元；

\(②80\)岁以下老人每人每月发放生活补贴\(120\)元；

\(③\)不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴\(100\)元．

利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算\(.(\)单位：亿元，结果保留两位小数\()\)

难度：较难

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3．

从甲地到乙地要经过\(3\)个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且各路口遇到红灯的概率分别为\( \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4} \)

\((1)\)记\(X\)表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量\(X\)的分布列和期望

\((2)\)若有\(2\)辆车独立的从甲地到乙地，求这\(2\)辆车共遇到\(1\)个红灯的概率

难度：较易

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4．
某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班\((\)人数均为\(20\)人\()\)进行教学\((\)两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致\()\)，数学期终考试成绩茎叶图如下：

\((1)\)学校规定：成绩不低于\(75\)分的优秀，请填写下面的\(2×2\)联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．

甲班

乙班

合计

优秀

不优秀

合计

附：参考公式及数据

\(P(x^{2}\geqslant k)\)

\(0.15\)

\(0.10\)

\(0.05\)

\(0.025\)

\(0.010\)

\(0.005\)

\(0.001\)

\(k\)

\(2.072\)

\(2.706\)

\(3.841\)

\(5.024\)

\(6.635\)

\(7.879\)

\(10.828\)

\(K^{2}=\dfrac{n{{\left( ad-bc \right)}^{2}}}{\left( a+b \right)\left( c+d \right)\left( a+c \right)\left( b+d \right)}\)

\((2)\)从两个班数学成绩不低于\(90\)分的同学中随机抽取\(3\)名，设\(ξ\)为抽取成绩不低于\(95\)分同学人数，求\(ξ\)的分布列和期望．

难度：较难

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5．

随机变量\(X\)的分布列如下表，且\(E(X)=2\)，则\(D(2X-3)= \)( )

\(X\)	\(0\)	\(2\)	\(a\)
\(P\)	\(\dfrac{1}{6}\)	\(p\)	\(\dfrac{1}{3}\)

A．\(2\)

B．\(3\)

C．\(4\)

D．\(5\)

难度：较易

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6．

随机变量\(ξ\)的分布列如下：其中\(a\)，\(b\)，\(c\)成等差数列，若\(E(ξ)= \dfrac{1}{3} \)，则\(D(ξ)\)的值为__________．

\(ξ\)

\(-1\)

\(0\)

\(1\)

\(P\)

\(a\)

\(b\)

\(c\)

难度：易

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7．某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过\(2\)小时免费，超过\(2\)小时的部分每小时收费\(1\)元\((\)不足\(1\)小时的部分按\(1\)小时计算\().\)现有甲乙两人独立来停车场停车\((\)各停车一次\()\)，且两人停车时间均不超过\(5\)小时\(.\)设甲、乙两人停车时间\((\)小时\()\)与取车概率如表所示．

\((0,2]\) \((2,3]\) \((3,4]\) \((4,5]\)

甲 \( \dfrac {1}{2}\) \(x\) \(x\) \(x\)

乙 \( \dfrac {1}{6}\) \( \dfrac {1}{3}\) \(y\) \(0\)

\((1)\)求甲、乙两人所付车费相同的概率；
\((2)\)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量\(ξ\)，求\(ξ\)的分布列和数学期望\(Eξ\)．

难度：较易

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8．
离散型随机变量\(X\)的概率分布规律为\(P(X=n)=\dfrac{a}{n\left( n{+}1 \right)}(n=1,2,3,4)\)，其中\(a\)是常数，则\(P\left( \left. \dfrac{1}{2} < X < \dfrac{5}{2} \right. \right)\)的值为________．

难度：较易

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9．
高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了\(55\)人，从美国某城市的高中生中随机抽取了\(45\)人进行答题\(.\)中国高中生答题情况是：选择家的占\(\dfrac{2}{5}\)、朋友聚集的地方占\(\dfrac{1}{5}\)、个人空间占\(\dfrac{2}{5}.\)美国高中生答题情况是：家占\(\dfrac{1}{5}\)、朋友聚集的地方占\(\dfrac{3}{5}\)、个人空间占\(\dfrac{1}{5}.\)为了考察高中生的“恋家\((\)在家里感到最幸福\()\)”是否与国别有关，构建了如下\(2×2\)列联表．

在家里最幸福

在其它场所幸福

合计

中国高中生

美国高中生

合计

\((\)Ⅰ\()\)请将\(2×2\)列联表补充完整；试判断能否有\(95\%\)的把握认为“恋家”与否与国别有关；
\((\)Ⅱ\()\)从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了\(5\)人，再从这\(5\)人中随机抽取\(2\)人\(.\)若所选\(2\)名学生中的“恋家”人数为\(X\)，求随机变量\(X\)的分布列及期望．
附：\({{K}^{2}}=\dfrac{n{{\left( ad-bc \right)}^{2}}}{\left( a+b \right)\left( c+d \right)\left( a+c \right)\left( b+d \right)}\)，其中\(n=a+b+c+d\)．

\(P(k2\geqslant k0)\)

\(0.050\)

\(0.025\)

\(0.010\)

\(0.001\)

\(k0\)

\(3.841\)

\(5.024\)

\(6.635\)

\(10.828\)

难度：较难

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10．
某小组共\(10\)人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为\(1\)，\(2\)，\(3\)的人数分别为\(3\)，\(3\)，\(4\)，现从这\(10\)人中随机选出\(2\)人作为该组代表参加座谈会．
\((1)\)设\(A\)为事件“选出的\(2\)人参加义工活动次数之和为\(4\)”，求事件\(A\)发生的概率；
\((2)\)设\(X\)为选出的\(2\)人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量\(X\)的分布列和数学期望。

难度：中等

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\(P(x^{2}\geqslant k)\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

	\((0,2]\)	\((2,3]\)	\((3,4]\)	\((4,5]\)
甲	\( \dfrac {1}{2}\)	\(x\)	\(x\)	\(x\)
乙	\( \dfrac {1}{6}\)	\( \dfrac {1}{3}\)	\(y\)	\(0\)

	在家里最幸福	在其它场所幸福	合计
中国高中生
美国高中生
合计

\(P(k2\geqslant k0)\)	\(0.050\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.001\)
\(k0\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(10.828\)

	甲班	乙班	合计
优秀
不优秀
合计

\(ξ\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)
\(P\)	\(a\)	\(b\)	\(c\)