知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某农科所发现，一种作物的年收获量s（单位：kg）与它“相近”作物的株数n具有相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1m），并分别记录了相近作物的株数为1，2，3，5，6，7时，该作物的年收获量的相关数据如下：

n 1 2 3 5 6 7

s 60 55 53 46 45 41

（Ⅰ）根据研究发现，该作物的年收获量s可能和它“相近”作物的株数n有以下两种回归方程： $%E2%91%A0%20%5Chat%20%7Bs%7D%3D%20%5Chat%20%7Bb%7Dn%2B%20%5Chat%20%7Ba%7D%EF%BC%9B%E2%91%A1%20%5Chat%20%7Bs%7D%3D%20%5Chat%20%7Bb%7Dn%5E%7B2%7D%2B%20%5Chat%20%7Ba%7D$ ，利用统计知识，结合相关系数r比较使用哪种回归方程更合适；
（Ⅱ）农科所在如右图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．（注：年收获量以（Ⅰ）中选择的回归方程计算所得数据为依据）
参考公式：线性回归方程为 $%20%5Chat%20%7By%7D%3D%20%5Chat%20%7Bb%7Dx%2B%20%5Chat%20%7Ba%7D$ ，其中 $%20%5Chat%20%7Bb%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20-%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Chat%20%7Ba%7D%3D%20%5Coverset%7B%20-%7D%7By%7D-%20%5Chat%20%7Bb%7D%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D$ ，
相关系数 $r%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20-%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20-%7D%7By%7D%29%5E%7B2%7D%7D%7D$ ；
参考数值： $%20%5Csqrt%20%7B7%7D%E2%89%882.65$ ， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B6%7D%28w_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bw%7D%29%28s_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bs%7D%29%3D-664$ ， $%20%5Csqrt%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B6%7D%28w_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bw%7D%29%5E%7B2%7D%7D%E2%89%8843$ ，其中 $w_%7Bi%7D%3Dn_%7Bi%7D%5E%7B2%7D$ ．

难度：中等

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2．某校高二年级某班的数学课外活动小组有$6$名男生，$4$名女生，从中选出$4$人参加数学竞赛考试，用$X$表示其中男生的人数，
$(1)$请列出$X$的分布列；
$(2)$根据你所列的分布列求选出的$4$人中至少有$3$名男生的概率．

难度：较易

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3．某班同学利用国庆节进行社会实践，对 $[25,55]$岁的人群随机抽取$n$人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

$(1)$补全频率分布直方图并求$n$、$a$、$p$的值；

$(2)$从$[40,50)$岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取$18$人参加户外低碳体验活动，其中选取$3$人作为领队，记选取的$3$名领队中年龄在$[40,45)$岁的人数为$X$，求$X$的分布列和期望$E(X)$．

难度：中等

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