知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
为了解$A$市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．

$($Ⅰ$)$根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩$u_{0}$；$($精确到个位$)$
$($Ⅱ$)$研究发现，本次检测的理科数学成绩$X$近似服从正态分布$X～N(μ,σ^{2})(u=u_{0},σ$约为$19.3).①$按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占$46\%$，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？$($精确到个位$)②$已知$A$市理科考生约有$1000$名，某理科学生此次检测数学成绩为$107$分，则该学生全市排名大约是多少名？
$($说明：$P(x > x_{1})=1-ϕ( \dfrac {x_{1}-u}{\sigma })$表示$x > x_{1}$的概率，$ϕ( \dfrac {x_{1}-u}{\sigma })$用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即$X～N(0,1)$，从而利用标准正态分布表$ϕ(x_{0})$，求$x > x_{1}$时的概率$P(x > x_{1})$，这里$x_{0}= \dfrac {x_{1}-u}{\sigma }.$相应于$x_{0}$的值$ϕ(x_{0})$是指总体取值小于$x_{0}$的概率，即$ϕ(x_{0})=P(x < x_{0}).$参考数据：$ϕ(0.7045)=0.54$，$ϕ(0.6772)=0.46$，$ϕ(0.21)=0.5832)$．

难度：较易

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2．
习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标$.$在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词$.$某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动$.$界定日行步数不足$4$千步的人为“不健康生活方式者”，不少于$10$千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”$.$某日，学校工会随机抽取了该校$400$名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：
$(1)$求$400$名教职工日行步数$($千步$)$的样本平均数$($结果四舍五入保留整数$)$；
$(2)$由直方图可以认为该校教职工的日行步数$($千步$)$服从正态分布$N(μ,σ^{2})$，其中$μ$为样本平均数，标准差$σ$的近似值为$2.5$，求该校被抽取的$400$名教职工中日行步数$($千步$)ξ∈(2$，$4.5)$的人数$($结果四舍五入保留整数$)$；
$(3)$用样本估计总体，将频率视为概率$.$若工会从该校教职工中随机抽取$2$人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人$0$元；“一般生活方式者”奖励金额每人$100$元；“超健康生活方式者”奖励金额每人$200$元$.$求工会慰问奖励金额$X$的分布列和数学期望．
附：若随机变量服从正态分布$N(μ,σ^{2})$，$P(μ-σ < ξ\leqslant μ+σ)=0.6826$则，$P(μ-2σ < ξ\leqslant μ+2σ)=0.9544$

难度：较易

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3．
$2015$年$3$月$24$日，习近平总书记主持召开中央政治局会议，通过了$《$关于加快推进生态文明建设的意见$》$，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想$.$为响应国家号召，某市$2016$年清明节期间种植了一批树苗，两年后市园林部门从这批树苗中随机抽取$100$棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：
$(1)$求树高在$225-235cm$之间树苗的棵树，并求这$100$棵树苗树高的平均值和方差$($方差四舍五入保留整数$)$；
$(2)$若将树高以等级呈现，规定：树高在$185-205cm$为合格，在$205-235$为良好，在$235-265cm$为优秀$.$视该样本的频率分布为总体的频率分布，若从这批树苗中随机抽取$3$棵，求树高等级为优秀的棵数$ξ$的分布列和数学期望；
$(3)$经验表明树苗树高$X-N(μ,σ^{2})$，用样本的平均值作为$μ$的估计值，用样本的方差作为$σ^{2}$的估计值，试求该批树苗小于等于$255.4cm$的概率．
$($提供数据：$ \sqrt {271}≈16.45, \sqrt {305}≈17.45$，$ \sqrt {340}≈18.45)$
附：若随机变量$z$服从正态分布$N(μ,σ^{2})$，则$P(μ-σ < Z\leqslant μ+σ)=0.6826$，$P(μ-2σ < Z\leqslant μ+2σ)=0.9544$，$P(μ-3σ < Z\leqslant μ+3σ)=0.9974$．

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4．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N（90，100）．
（1）试求考试成绩ξ位于区间（70，110）上的概率是多少？
（2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？

难度：难

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5．某校高二年级在一次数学测验后，随机抽取了部分学生的数学成绩组成一个样本，得到如下频率分布直方图：
（1）求这部分学生成绩的样本平均数 $%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ 和样本方差s²（同一组数据用该组的中点值作为代表）
（2）由频率分布直方图可以认为，该校高二学生在这次测验中的数学成绩X服从正态分布 $N%28%20%5Coverline%20%7Bx%7D%EF%BC%8Cs%5E%7B2%7D%29$ ．
①利用正态分布，求P（X≥129）；
②若该校高二共有1000名学生，试利用①的结果估计这次测验中，数学成绩在129分以上（含129分）的学生人数．（结果用整数表示）
附：① $%20%5Csqrt%20%7B210%7D$ ≈14.5②若X～N（μ，σ²），则P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．

难度：较易

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6．
在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：

组别 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
频数 5 18 28 26 17 6
（1）求抽取的样本平均数x和样本方差s²（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布N（μ，σ²）（其中μ近似为样本平均数 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bx%7D$ ，σ²近似为样本方差s²），且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？（附： $%20%5Csqrt%20%7B161%7D$ ≈12.7，若z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜z＜μ+σ）=0.682，P（μ-2σ＜z＜μ+2σ）=0.9544．）．
（3）已知样本中成绩在[90，100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．

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7．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，4），若p（ξ＞4）=0.1，则p（-2≤ξ≤4）= ______ ．

难度：易

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8．某市在2015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （120，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．
（I）试估计该校数学的平均成绩；
（Ⅱ）这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．
附：若 X～N（μ，σ²），则P（u-3σ＜X＜u+3σ）=0.9974．

难度：较易

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9．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm）．
（Ⅰ）计算平均值μ与标准差σ；
（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ²），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.9544³=0.87，0.9974⁴=0.99，0.0456²=0.002．

难度：较易

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10．在某次物理考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ：N（70，100），已知满分为100分．
（1）试求考试成绩ξ位于区间（50，90）内的概率；
（2）若这次考试共有1000名学生参加，试估计这次考试及格（不小于60分）的人数．
（附：若ξ：N（μ，σ²），则P（μ-σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜ξ＜μ+3σ）=0.9974）

难度：易

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组别	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
频数	5	18	28	26	17	6