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          50条信息

            • 1.
              某地一商场记录了\(12\)月份某\(5\)天当中某商品的销售量\(y(\)单位:\(kg)\)与该地当日最高气温\(x(\)单位:\({\,\!}^{\circ}C)\)的相关数据,如表:
              \(x\) \(11\) \(9\) \(8\) \(5\) \(2\)
              \(y\) \(7\) \(8\) \(8\) \(10\) \(12\)
              \((1)\)试求\(y\)与\(x\)的回归方程\( \hat {y}= \hat {b}x+ \hat {a}\);
              \((2)\)判断\(y\)与\(x\)之间是正相关还是负相关;若该地\(12\)月某日的最高气温是\(6^{\circ}C\),试用所求回归方程预测这天该商品的销售量;
              \((3)\)假定该地\(12\)月份的日最高气温\(X~N(μ,σ^{2})\),其中\(μ\)近似取样本平均数\( \overline {x}\),\(σ^{2}\)近似取样本方差\(s^{2}\),试求\(P(3.8 < X < 13.4)\).
              附:参考公式和有关数据\( \begin{cases} \hat {b}= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n \overline {x} \overline {y}}{ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n \overline {x}^{2}}= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})(y_{i}- \overline {y})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})^{2}} \\ \hat {a}= \overline {y}- \hat {b} \overline {x}\end{cases}\),\( \sqrt {10}≈3.2\),\( \sqrt {3.2}≈1.8\),若\(X~N(μ,σ^{2})\),则\(P(μ-σ < X < μ+σ)=0.6826\),且\(P(μ-2σ < X < μ+2σ)=0.9544\).
            • 2.
              在某市高中某学科竞赛中,某一个区\(4000\)名考生的参赛成绩统计如图所示.
              \((1)\)求这\(4000\)名考生的竞赛平均成绩\( \overline {x}(\)同一组中数据用该组区间中点作代表\()\);
              \((2)\)由直方图可认为考生竞赛成绩\(z\)服正态分布\(N(μ,σ^{2})\),其中\(μ\),\(σ^{2}\)分别取考生的平均成绩\( \overline {x}\)和考生成绩的方差\(s^{2}\),那么该区\(4000\)名考生成绩超过\(84.41\)分的人数估计有多少人?
              \((3)\)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况,现从全市参赛考生中随机抽取\(4\)名考生,记成绩不超过\(84.81\)分的考生人数为\(ξ\),求\(P(ξ\leqslant 3).(\)精确到\(0.001)\)
              附:\(①s^{2}=204.75\),\( \sqrt {204.75}=14.31\);
                   \(②z~N(μ,σ^{2})\),则\(P(μ-σ < z < μ+σ)=0.6826\),\(P(μ-2σ < z < μ+2σ)=0.9544\);
                   \(③0.8413^{4}=0.501\).
            • 3.
              在某校举行的一次数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩\(X\)近似服从正态分布\(N(70,100).\)已知成绩在\(90\)分以上\((\)含\(90\)分\()\)的学生有\(16\)名.
              \((1)\)试问此次参赛的学生总数约为多少人?
              \((2)\)若该校计划奖励竞赛成绩在\(80\)分以上\((\)含\(80\)分\()\)的学生,试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人?
              附:\(P(|X-μ| < σ)=0.683\),\(P(|X-μ| < 2σ)=0.954\),\(P(|X-μ| < 3σ)=0.997\).
            • 4.
              某公司共有\(10\)条产品生产线,不超过\(5\)条生产线正常工作时,每条生产线每天纯利润为\(1100\)元,超过\(5\)条生产线正常工作时,超过的生产线每条纯利润为\(800\)元,原生产线利润保持不变\(.\)未开工的生产线每条每天的保养等各种费用共\(100\)元\(.\)用\(x\)表示每天正常工作的生产线条数,用\(y\)表示公司每天的纯利润.
              \((1)\)写出\(y\)关于\(x\)的函数关系式,并求出纯利润为\(7700\)元时工作的生产线条数.
              \((2)\)为保证新开的生产线正常工作,需对新开的生产线进行检测,现从该生产线上随机抽取\(100\)件产品,测量产品数据,用统计方法得到样本的平均数\( \overline {x}=14\),标准差\(s=2\),绘制如图所示的频率分布直方图,以频率值作为概率估计值.
              为检测该生产线生产状况,现从加工的产品中任意抽取一件,记其数据为\(X\),依据以下不等式评判\((P\)表示对应事件的概率\()\)
              \(①P( \overline {x}-s < X < \overline {x}+s)\geqslant 0.6826\)
              \(②P( \overline {x}-2s < X < \overline {x}+2s)\geqslant 0.9544\)
              \(③P( \overline {x}-3s < X < \overline {x}+3s)\geqslant 0.9974\)
              评判规则为:若至少满足以上两个不等式,则生产状况为优,无需检修;否则需检修生产线\(.\)试判断该生产线是否需要检修.
            • 5.
              某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径\((\)单位:\(mm)\)进行测量,得出这批钢管的直径\(X\) 服从正态分布\(N(65,4.84)\).
              \((1)\)当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为\(73mm\),他立即要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据;
              \((2)\)如果钢管的直径\(X\)满足\(60.6mm-69.4mm\)为合格品\((\)合格品的概率精确到\(0.01)\),现要从\(60\)根该种钢管中任意挑选\(3\)根,求次品数\(Y\)的分布列和数学期望.
              \((\)参考数据:若\(X-N(μ,σ^{2})\),则\(P(μ-σ < X\leqslant μ+σ)=0.6826\);\(P(μ-2σ < X\leqslant μ+2σ)=0.9544\);\(P(μ-3σ < X\leqslant μ+3σ)=0.9974\).
            • 6.
              近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事,并且逐渐影响到国际电子商务行业\(.\)某商家为了准备\(2018\)年双十一的广告策略,随机调查\(1000\)名淘宝客户在\(2017\)年双十一前后\(10\)天内网购所花时间,并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.

              由频率分布直方图可以认为,这\(10\)天网购所花的时间\(T\)近似服从\(N(μ,σ^{2})\),其中\(μ\)用样本平均值代替,\(σ^{2}=0.24\).
              \((\)Ⅰ\()\)计算样本的平均值\(μ\),并利用该正态分布求\(P(1.51 < T < 2.49)\).
              \((\)Ⅱ\()\)利用由样本统计获得的正态分布估计整体,将这\(10\)天网购所花时间在\((2,2.98)\)小时内的人定义为目标客户,对目标客户发送广告提醒\(.\)现若随机抽取\(10000\)名淘宝客户,记\(X\)为这\(10000\)人中目标客户的人数.
              \((i)\)求\(EX\);
              \((ii)\)问:\(10000\)人中目标客户的人数\(X\)为何值的概率最大?
              附:若随机变量\(Z\)服从正态分布\(N(μ,σ^{2})\),则\(P(μ-σ < Z < μ+σ)=0.6826\),\(P(μ-2σ < Z < μ+2σ)=0.9544\),\(P(μ-3σ < Z < μ+3σ)=0.9974\),\( \sqrt {0.24}≈0.49\).
            • 7.
              \(PM2.5\)是衡量空气污染程度的一个指标,为了了解某市空气质量情况,从去年每天的\(PM2.5\)值的数据中随机抽取\(40\)天的数据,其频率分布直方图如图所示\(.\)现将\(PM2.5\)的值划分为如下等级
              \(PM2.5\) \([0,100)\) \([100,150)\) \([150,200)\) \([200,250]\)
              等级 一级 二级  三级  四级
              用频率估计概率.
              \((1)\)估计该市在下一年的\(360\)天中空气质量为一级天气的天数;
              \((2)\)在样本中,按照分层抽样的方法抽取\(8\)天的\(PM2.5\)值的数据,再从这\(8\)个数据中随机抽取\(5\)个,求一级、二级、三级、四级天气都有的概率;
              \((3)\)如果该市对环境进行治理,治理后经统计,每天\(PM2.5\)值\(X\)近似满足\(X~N(115,75^{2})\),则治理后的\(PM2.5\)值的均值比治理前大约下降了多少?
            • 8.
              某食品店为了了解气温对销售量的影响,随机记录了该店\(1\)月份中\(5\)天的日销售量\(y(\)单位:千克\()\)与该地当日最低气温\(x(\)单位:\({\,\!}^{\circ}C)\)的数据,如下表:
              \(x\) \(2\) \(5\) \(8\) \(9\) \(11\)
              \(y\) \(12\) \(10\) \(8\) \(8\) \(7\)
              \((1)\)求出\(y\)与\(x\)的回归方程\( \hat y= \hat bx+ \hat a\);
              \((2)\)判断\(y\)与\(x\)之间是正相关还是负相关;若该地\(1\)月份某天的最低气温为\(6^{\circ}C\),请用所求回归方程预测该店当日的销售量;
              \((3)\)设该地\(1\)月份的日最低气温\(X~N(μ,σ^{2})\),其中\(μ\)近似为样本平均数\( \overset{ .}{x}\),\(σ^{2}\)近似为样本方差\(s^{2}\),求\(P(3.8 < X < 13.4)\).
              附:\(①\)回归方程\( \hat y= \hat bx+ \hat a\)中,\( \hat b= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}y_{i})-n \overset{ .}{x \overset{ .}{y}}}{ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n( \overset{ .}{x})^{2}}\),\( \hat a= \overset{ .}{y}- \hat b \overset{ .}{x}\).
              \(② \sqrt {10}≈3.2\),\( \sqrt {3.2}≈1.8.\)若\(X~N(μ,σ^{2})\),则\(P(μ-σ < X < μ+σ)=0.6826\),\(P(μ-2σ < X < μ+2σ)=0.9544\).
            • 9.
              某市对所有高校学生进行普通话水平测试,发现成绩服从正态分布\(N(μ,σ^{2})\),下表用茎叶图列举出来抽样出的\(10\)名学生的成绩.

              \((1)\)计算这\(10\)名学生的成绩的均值和方差;
              \((2))\)给出正态分布的数据:\(P(μ-σ < X < μ+σ)=0.6826\),\(P(μ-2σ < X < μ+2σ)=0.9544\).
              由\((1)\)估计从全市随机抽取一名学生的成绩在\((76,97)\)的概率.
            • 10.
              为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取\(16\)个零件,并测量其尺寸\((\)单位:\(cm).\)根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布\(N(μ,σ^{2}).\)
              \((1)\)假设生产状态正常,记\(X\)表示一天内抽取的\(16\)个零件中其尺寸在\((μ-3σ,μ+3σ)\)之外的零件数,求\(P(X\geqslant 1)\)及\(X\)的数学期望;
              \((2)\)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在\((μ-3σ,μ+3σ)\)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
              \((ⅰ)\)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
              \((ⅱ)\)下面是检验员在一天内抽取的\(16\)个零件的尺寸:
              \(9.95\) \(10.12\) \(9.96\) \(9.96\) \(10.01\) \(9.92\) \(9.98\) \(10.04\)
              \(10.26\) \(9.91\) \(10.13\) \(10.02\) \(9.22\) \(10.04\) \(10.05\) \(9.95\)
              经计算得\( \overset{ .}{x}= \dfrac {1}{16} \sum\limits_{i=1}^{16}x_{i}=9.97\),\(s= \sqrt { \dfrac {1}{16} \sum\limits_{i=1}^{16}(x_{i}- \overset{ .}{x})^{2}}= \sqrt { \dfrac {1}{16}( \sum\limits_{i=1}^{16}x_{i}^{2}-16 \overset{ .}{x}^{2})}≈0.212\),其中\(x_{i}\)为抽取的第\(i\)个零件的尺寸,\(i=1\),\(2\),\(…\),\(16\).
              用样本平均数\( \overset{ .}{x}\)作为\(μ\)的估计值\( \overset{\hat{} }{\mu }\),用样本标准差\(s\)作为\(σ\)的估计值\( \overset{\hat{} }{\sigma }\),利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除\(( \overset{\hat{} }{\mu }-3 \overset{\hat{} }{\sigma }, \overset{\hat{} }{\mu }+3 \overset{\hat{} }{\sigma })\)之外的数据,用剩下的数据估计\(μ\)和\(σ(\)精确到\(0.01)\).
              附:若随机变量\(Z\)服从正态分布\(N(μ,σ^{2})\),则\(P(μ-3σ < Z < μ+3σ)=0.9974\),\(0.9974^{16}≈0.9592\),\( \sqrt {0.008}≈0.09\).
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