知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援．现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．
（1）完成2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？
（2）（i）按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽出9株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）
（ii）若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机取出50株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差
P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（ K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）

难度：中等

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2．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数学成绩 95 75 80 94 92 65 67 84 98 71 67 93 64 78 77 90 57 83 72 83
物理成绩 90 63 72 87 91 71 58 82 93 81 77 82 48 85 69 91 61 84 78 86
若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀．
（1）根据上表完成下面的2×2列联表（单位：人）：
数学成绩优秀数学成绩不优秀合计
物理成绩优秀
物理成绩不优秀
合计 20
（2）根据题（1）中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？
参考数据：
①假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x₁，x₂}和{y₁，y₂}，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为：
y₁ y₂ 合计
x₁ a b a+b
x₂ c d c+d
合计 a+c b+d a+b+c+d
则随机变量K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d为样本容量；
②独立检验随机变量K²的临界值参考表：
P（K²≥k₀） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k₀ 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：中等

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3．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：
支持不支持合计
中型企业 80 40 120
小型企业 240 200 440
合计 320 240 560
（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？
（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率
K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(b+d)

P（K²≥k₀） 0.050 0.025 0.010
K₀ 3.841 5.024 6.635

难度：中等

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4．为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：
喜欢不喜欢总计
男 15 10 25
女 5 20 25
总计 20 30 50
附表：
P（K²≥k₀） 0.010 0.005 0.001
k₀ 6.635 7.879 10.828
（参考公式k²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，（n=a+b+c+d）
则有以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”．

难度：中等

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5．在北方某城市随机选取一年内40天的空气污染指数（API）的监测数据，统计结果如下：
API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，250] （250，300] （300，+∞）
天数 3 5 8 10 8 4 2
（Ⅰ）已知污染指数API大于250为重度污染，若本次抽取样本数据有9天是在供暖季，其中有3天为重度污染，完成下面的2×2列联表，问有多大把握认为该城市空气重度污染与供暖有关？
非重度污染重度污染合计
供暖季
非供暖季
合计 40
（Ⅱ）在样本中，从污染指数API大于250的6天中任取2天，求至少有1天API大于300的概率．
附注：k²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，n=a+b+c+d
P（K²≥k） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.025 6.635 7.879 10.828

难度：中等

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6．随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n个人，其中男性占调查人数的
2
5
．已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有
1
3
的人的休闲方式是运动．
（1）完成下列2×2列联表：

运动非运动总计

男性

女性

总计 n
（2）若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？
（3）根据（2）的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？
参考公式：K 2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．

P（K²≥K₀） 0.050 0.010 0.001

K₀ 3.841 6.635 10.828

难度：中等

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P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数学成绩	95	75	80	94	92	65	67	84	98	71	67	93	64	78	77	90	57	83	72	83
物理成绩	90	63	72	87	91	71	58	82	93	81	77	82	48	85	69	91	61	84	78	86

	数学成绩优秀	数学成绩不优秀	合计
物理成绩优秀
物理成绩不优秀
合计			20

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	支持	不支持	合计
中型企业	80	40	120
小型企业	240	200	440
合计	320	240	560

API	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，300]	（300，+∞）
天数	3	5	8	10	8	4	2

	非重度污染	重度污染	合计
供暖季
非供暖季
合计			40

	y₁	y₂	合计
x₁	a	b	a+b
x₂	c	d	c+d
合计	a+c	b+d	a+b+c+d

	喜欢	不喜欢	总计
男	15	10	25
女	5	20	25
总计	20	30	50

	运动	非运动	总计
男性
女性
总计			n