知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（Ⅰ）应收集多少位男生的样本数据？
（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
（Ⅲ）在样本数据中有60位女生每周平均体育运动时间超过4小时，请根据独立性检验原理，判断该校学生每周平均体育运动时间与性别是否有关，这种判断有多大把握？

难度：较难

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2．近两年来，各大电视台都推出了由明星参与的游戏竞技类节目，高一某研究性学习小组在某社区对50人进行了第一时间收看该类节目与性别是否有关的收视调查，其中20名女性中有15名第一时间收看该类节目，30名男性中有10名第一时间收看该类节目．
（1）根据以上数据建立一个2×2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.5%的前提下能否认为第一时间收看该类节目与性别有关？
（2）该研究性学习小组共有A、B、C、D和E五名同学，五人分成两组模拟“撕名牌”的游戏，其中一组三人，一组两人，求A、B两同学分在同一组的概率
参考数据：X2=
m(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表：
P（X²≥k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：中等

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3．（2015秋•葫芦岛期末）为备战“全国高中数学联赛”，我市某高中拟成立两个“数学竞赛班”，经过学校预选，选出40名学生，编成A，B两个班，分别由两位教师担任教练进行培训；经过两个月的培训，参加了市里组织的数学竞赛初赛（只有经过初赛，取得相应名次，才能取得参加省统一组织的“全国高中数学联赛”复赛资格），这40名学生的初赛成绩的茎叶图如图：
市数学会规定：140分以上（含140分）为市级一等奖，135分以上（含135分）为市级二等奖，100分以上（含100分）为市级三等奖．
（1）由茎叶图判断A班和B班的平均分
.
xA
，
.
xB
的大小（只需写出结论）；
（2）按照规则：获得市一等奖、二等奖的同学才能获得省里组织的“全国数学联赛”复赛资格，我们称这些同学为“种子选手”，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为称为“种子选手”与班级有关？
A班 B班合计
种子选手
非种子选手
合计
（3）若在“种子选手”中选出3人，其中含有“获市级一等奖”的同学中为X人，求X的分布列及数学期望．
下面临界值表仅供参考：
P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）

难度：中等

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4．（2015秋•葫芦岛期末）为备战“全国高中数学联赛”，我市某高中拟成立两个“数学竞赛班”，经过学校预选，选出40名学生，编成A，B两个班，分别由两位教师担任教练进行培训；经过两个月的培训，参加了市里组织的数学竞赛初赛（只有经过初赛，取得相应名次，才能取得参加省统一组织的“全国高中数学联赛”复赛资格），这40名学生的初赛成绩的茎叶图如图：
市数学会规定：140分以上（含140分）为市级一等奖，135分以上（含135分）为市级二等奖，100分以上（含100分）为市级三等奖．
（1）由茎叶图判断A班和B班的平均分
.
xA
，
.
xB
的大小（只需写出结论）；
（2）按照规则：获得市一等奖、二等奖的同学才能获得省里组织的“全国数学联赛”复赛资格，我们称这些同学为“种子选手”，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为称为‘种子’选手”与班级有关？
A班 B班合计
种子选手
非种子选手
合计
（3）在获市级一等奖的同学中选出3人，求至少含有1名A班同学的概率．
下面临界值表仅供参考：
P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）

难度：中等

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5．为研究学生语文学习水平是否对数学学习有影响，某校在期中考试后对100名学生的语文．数学成绩进行了统计，得知在语文及格的65名学生中有45人数学及格，而另外35名语文不及格的学生中数学也不及格的有20人．
（1）根据已知数据填写2×2列联表：
数学及格数学不及格总计
语文及格 65
语文不及格 35
总计 100
（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为语文学习水平与数学成绩有关，附：
①临界值表：
P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
②K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．

难度：中等

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6．汽车发动机排量可以分为两类，高于1.6L的称为大排量，否则称为小排量，加油时，有92号与95号两种汽油可供选择，某汽车网站的注册会员中，有300名老会员参与了网络调查，结果如下：
附：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K²≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
加油类型
汽车排量小排量大排量
92号 160 96
95号 20 24
（1）根据此次调查，是否有95%的把握认为该网站会员给汽车加油时进行的型号选择与汽车排量有关？
（2）将上述调查的频率视为概率，从该网站所有会员（数量最多）的“小排量汽车”和“大排量汽车”中分别抽出2辆，记X表示抽取的4辆中加95号汽油的车辆数，求X的分布列和期望．

难度：中等

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7．某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如表，则大约有 %的把握认为主修统计专业与性别有关系．参考公式：Χ2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．
非统计专业统计专业
男 15 10
女 5 20
P（Χ²＞x₀） 0.025 0.010 0.005 0.001
x₀ 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：中等

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8．高二（6）班班主任对全班50名学生进行了有关作业量多少的调查，得到如下列联表：
认为作业多认为作业不多
喜欢玩电脑游戏 18 9
不喜欢玩电脑游戏 8 15
认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系”的概率有多大？

难度：中等

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9．某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：
有效无效合计
使用方案A组 96 120
使用方案B组 72
合计 32
（1）完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？

难度：中等

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10．为了调查经常参加体育锻炼能否预防感冒，经统计得到数据如下表：
感冒未感冒总计
经常锻炼 62 206 268
不经常锻炼 164 104 268
总计 226 310 536
请分析经常参加体育锻炼能否预防感冒．

难度：较易

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P（X²≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	数学及格	数学不及格	总计
语文及格			65
语文不及格			35
总计			100

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

加油类型汽车排量	小排量	大排量
92号	160	96
95号	20	24

P（Χ²＞x₀）	0.025	0.010	0.005	0.001
x₀	5.024	6.635	7.879	10.828

	认为作业多	认为作业不多
喜欢玩电脑游戏	18	9
不喜欢玩电脑游戏	8	15

	有效	无效	合计
使用方案A组	96		120
使用方案B组	72
合计		32

	感冒	未感冒	总计
经常锻炼	62	206	268
不经常锻炼	164	104	268
总计	226	310	536

	A班	B班	合计
种子选手
非种子选手
合计

	A班	B班	合计
种子选手
非种子选手
合计

	非统计专业	统计专业
男	15	10
女	5	20