知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某学校在高一、高二两个年级学生中各抽取100人的样本，进行普法知识调查，其结果如下表：
高一高二总数
合格人数 70 x 150
不合格人数 y 20 50
总数 100 100 200
（1）求x、y的值；
（2）有没有99%的把握认为“高一、高二两个年级这次普法知识调查结果有差异”；（3）用分层抽样的方法从样本的不合格同学中抽取5人的辅导小组，在5人中随机选2人，这2人中正好高一、高二各1人的概率为多少．
参考公式：Χ2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

Χ²≥ 5.024 6.635 7.879 10.828
97.5% 99% 99.5% 99.9%

难度：中等

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2．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下面表中所示：
性别
是否需要帮助男女合计
需要 50 25 75
不需要 200 225 425
合计 250 250 500
（1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否在出错的概率不超过1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？并说明理由；
（3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？并说明理由．
附：独立性检验卡方统计量K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d为样本容量，独立性检验临界值表为：
P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：较易

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3．甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
甲校：
分组 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110）
频数 3 4 8 15
分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150]
频数 15 x 3 2
乙校：
分组 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110）
频数 1 2 8 9
分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150]
频数 10 10 y 3
（1）计算x，y的值；
（2）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；
（3）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成绩有差异．
甲校乙校总计
优秀
非优秀
总计
参考数据与公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表：
P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.010
k₀ 2.706 3.841 6.635

难度：中等

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4． 2015年十一黄金周期间，渭南日报记者通过随机询问本市华山景区220名游客对景区的服务是否满意情况，得到如下的统计表：（单位：名）
男女总计
满意 100 60 160
不满意 20 40 60
总计 120 100 220
（Ⅰ）从这100名女游客中按对华山景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？
（Ⅱ）从（Ⅰ）中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选出满意与不满意的女游客一名的概率；
（Ⅲ）根据以上统计表，问有多大把握认为“游客性别与对华山景区的服务满意”有关．
附：

P（K²≥K₀） 0.050 0.025 0.010
K₀ 3.841 5.024 6.635
K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．

难度：中等

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5．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表
优秀非优秀合计
甲班 10 40 50
乙班 20 30 50
合计 30 70 100
（Ⅰ）根据列联表的数据，判断是否有99%的把握认为“成绩与班级有关系”；
（Ⅱ）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班10名优秀学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到8号的概率．
参考公式与临界值表：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．
P（K²≥k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828

难度：中等

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6．心理学家分析发现视觉和空间想象力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，按分层抽样的方法从数学兴趣小组中抽取59名同学（男30女20），给这些同学每人一道几何题和一道代数题，让每名同学自由选择一道题解答，则选题情况如表所示．
几何题代数题总计
男同学 22 8 30
女同学 8 12 20
总计 30 20 50
（1）能否根据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间想象力与性别有关？
（2）现从选择做几何题的8名女同学（包括甲、乙）中任意抽取2名，对这2名女同学的答题情况进行研究，记甲、乙2名女同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.010 0.005
k₀ 2.706 3.841 6.635 7.879
（参考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
其中n=a+b+c+d）

难度：中等

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7．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数学/分	95	75	80	94	92	65	67	84	98	71
物理/分	90	63	72	87	91	71	58	82	93	81
序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数学/分	67	93	64	78	77	90	57	83	72	83
物理/分	77	82	48	85	69	91	61	84	78	86

若单科成绩在85分以上（含85分），则该科成绩为优秀．
（1）根据上表完成下面的2×2列联表（单位：人）：

	数学成绩优秀	数学成绩不优秀	合计
物理成绩优秀
物理成绩不优秀
合计

（2）根据题（1）中表格的数据计算，能否有99%的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？
附：Χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d．

参考数据	当Χ²≤2.706时，无充分证据判定变量A，B有关联，可以认为两变量无关联；
	当Χ²＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
	当Χ²＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
	当Χ²＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．

难度：中等

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8．为了解某校学生喜爱打篮球是否与性别有关，采用随机抽样方法抽取了50名学生进行问卷调查，得到如下的列联表：
喜爱打篮球不喜爱打篮球合计
男生 5
女生 10
合计 50
已知在这50名学生中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为
3
5
．
（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；
（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（Ⅲ）记不喜爱打篮球的5名男生分别为A、B、C、D、E，这5名男生喜爱打乒乓球，
如果从他们当中任选2人作为一对组合参加乒乓球男子双打比赛，求A、B中恰好有1人被选中的概率．
下面的临界值表供参考：
P（K²≥k₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）

难度：中等

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9．某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：
有效无效合计
使用方案A组 96 120
使用方案B组 72
合计 32
（1）完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？

难度：中等

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10．未调查旅游季节与旅游地点是否相关，对某地200名旅游爱好者做了一项调查，结果如表：

季节地理位置	喜欢夏季旅游	喜欢冬季旅游
喜欢北方旅游	60	30
喜欢南方旅游	90	20

（1）能否有把握（有的话用百分比表示出来）认为旅游地点与夏冬季有关？
（2）现在对喜欢北方旅游的90人中，按比例抽样抽取6人，再从6人中选取3人组成代表团，求代表团中至少含有一名喜欢冬季旅游的概率

P（K²≥K）	0.050	0.010	0.001
K	3.841	6.635	10.828

K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

难度：中等

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进入组卷

	高一	高二	总数
合格人数	70	x	150
不合格人数	y	20	50
总数	100	100	200

性别是否需要帮助	男	女	合计
需要	50	25	75
不需要	200	225	425
合计	250	250	500

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
频数	3	4	8	15
分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
频数	15	x	3	2

P（K²≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

	喜爱打篮球	不喜爱打篮球	合计
男生		5
女生	10
合计			50

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	有效	无效	合计
使用方案A组	96		120
使用方案B组	72
合计		32

Χ²≥	5.024	6.635	7.879	10.828
	97.5%	99%	99.5%	99.9%

	甲校	乙校	总计
优秀
非优秀
总计

	优秀	非优秀	合计
甲班	10	40	50
乙班	20	30	50
合计	30	70	100