知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若(x+
2
x
)n的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．

难度：较易

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2．在二项式（
3 x
-
1
2
3 x
）⁸的展开式中，第四项的系数为．

难度：中等

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3．若（x+
2
x
）ⁿ的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线y=
a
6
x与曲线y=x²所围成的封闭区域面积为．

难度：较易

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4．已知(3x2+
x
)n的展开式各项系数和为M，(3x2-
x
)n+5的展开式各项系数和为N，（x+1）ⁿ的展开式各项的系数和为P，且M+N-P=2016，试求(2x2-
1
x2
)2n的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=a^x-x （a＞1）
（1）求证：
f′(x1)+f′(x2)
2
≥f′（
x1+x2
2
）；
（2）求函数f（x）的最小值，并求最小值小于0时的a取值范围；
（3）令S（n）=C

1
n
f′（1）+C

2
n
f′（2）+…+C

n-1
n
f′（n-1），求证：S（n）≥（2ⁿ-2）f′（
n
2
）．

难度：较难

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6．（1）求证：
A
9
9
-9
A
8
8
+8
A
7
7
=
A
8
8

（2）求(2x3-
1
4x3
)10的展开式的常数项．
（3）求（1+x+x²）（1+x）¹⁰的展开式中x⁴的系数．

难度：中等

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7．设数组A：{a₁，a₂，…，a_n}与数组B：{b₁，b₂，…，b_n}，A与B中的元素不完全相同，分别从A、B中的n个元素中任取m（m≤n）个元素作和，各得C_n^m个和．若由A得到的C_n^m个和与由B得到的C_n^m个和恰好完全相同，则称数组A与B是n元中取m的全等和数组，简记为DH_n^m数组．
（1）判断数组A：{5，15，25，45}与B：{0，20，30，40}是否为DH₄²数组？
（2）若数组A：{a₁，a₂，…，a_n}与数组B：{b₁，b₂，…，b_n}是DH_n^m数组（m≤n），求证：数组A与B一定是DH_nⁿ数组
（3）给定数组A：{a₁，a₂，a₃，a₄}，其中a₁≤a₂≤a₃≤a₄，问是否存在数组B，使得数组A与B为DH₄²数组？若存在，则求出数组B；若不存在，请说明理由．

难度：难

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8．已知f_n（x）=（1+x）+2（1+x）²+…+n（1+x）ⁿ=a_n0+a_n1x+…+a_nnxⁿ，n∈N^*，这些系数可形成如下数阵：
（1）求出a₃₁，a₃₂的值；
（2）若n=9，求a₉₁+a₉₅+a₉₇+a₉₉的值；
（3）求数列{a_ij}（其中i，j∈N^*，且1≤j≤i≤n）的和S．

难度：较难

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