知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，P是抛物线C：y=
1
2
x2上横坐标大于零的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q．
（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
（2）若
OP
•
OQ
=0，求过点P，Q，O的圆的方程．

难度：较难

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2．已知直线l过点P（-1，2），且倾斜角的余弦值为
2
2
．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）求直线l与坐标轴围成的三角形绕y轴在空间旋转成的几何体的体积．

难度：中等

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3．已知直线l₁：2x-y-8=0和直线l：3x+y-2=0．
（Ⅰ）求经过直线l₁与直线l的交点，且过点（-1，0）的直线的方程；
（Ⅱ）求直线l₁关于直线l对称的直线l₂的方程．

难度：较难

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4．设数列{a_n}的前n项和S_n=na+n（n-1）b，（n=1，2，…），a、b是常数且b≠0．
（1）证明：以（a_n，
Sn
n
-1）为坐标的点P_n（n=1，2，…）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程．
（2）设a=1，b=
1
2
，圆C是以（r，r）为圆心，r为半径的圆（r＞0），在（2）的条件下，求使得点P₁、P₂、P₃都落在圆C外时，r的取值范围．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=ax³+bx²（x∈R）的图象过点P（-1，2），且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=mx³+
1
3
f′（x）-3x在（2，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．

难度：中等

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6．已知O为坐标原点，曲线C上的任意一点P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等，过点F的直线交曲线C于A、B两点，且曲线C在A、B两点处的切线分别为l₁、l₂．
（1）求曲线C的方程；
（2）求证：直线l₁、l₂互相垂直；
（3）y轴上是否存在一点R，使得直线RF始终平分∠ARB？若存在，求出R点坐标；若不存在，说明理由．

难度：较难

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7．已知a+b=-cotθ，ab=-
1
sinθ
（a≠b），
（1）求过两点（a，a²），（b，b²）的直线方程（可含θ但不含a，b）；
（2）对一切有意义的θ的值，是否存在一个定点P（x₀，y₀），使P到所有过（a，a²），（b，b²）的直线等距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．

难度：中等

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8．在△ABC中，已知点A（4，-1），点C（8，3），且AB的中点为M（3，2）．
（Ⅰ）求边BC所在的直线方程；
（Ⅱ）求△ABC的外接圆的方程．

难度：中等

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9．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx，求直线DE的斜截式方程；
（3）设椭圆C的弦DE的中点为（-1，1），求直线DE的斜截式方程；
（4）设直线l：y=x-2与椭圆C交于M、N两点，O是原点，求△OMN的面积．

难度：中等

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10．设定义在R上的奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，a，b，c，d∈R．当x=-1时，f（x）取得极大值
2
3
．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）判断函数y=f（x）的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切
点的横坐标在区间[-
2
，
2
]上，并说明理由；
（3）设x_n=1-2^-n，y_m=
2
（3^-m-1）（m，n∈N*），求证：|f（x_n）-f（y_m）|＜
4
3
．

难度：难

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