知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知圆N经过点A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线3x-y-2=0上．
（Ⅰ）求圆N的方程；
（Ⅱ）求圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程．
（Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．

难度：中等

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2．点P（x₀，y₀）是圆x²+y²=4上得动点，点M为OP（O是原点）的中点，则动点M的轨迹方程是．

难度：中等

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3．到定点（2，0）的距离与到定直线x=8的距离之比为
2
2
的动点的轨迹方程为．

难度：较难

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4．在平面直角坐标系中，已知A（-1，0），B（1，0），动点P（x，y）满足|PA|=a|PB（a＞0
）．
（1）试讨论动点P的轨迹C；
（2）当a=
2
时，直线y=x+b与轨迹C交于两点M，N，若以线段MN为直径的圆恰好过坐标原点O，求b的值．

难度：较难

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5．已知直线l₁过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l₂过点Q（3，-1）且与y轴交于B点，若l₁⊥l₂，且
AM
=2
MB
，则点M的轨迹方程为．

难度：较难

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6．在平面直角坐标系xoy中，设点F（1，0），直线l：x=-1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（1）求动点Q的轨迹的方程．
（2）记Q的轨迹的方程为E，曲线E与直线y=kx-2相交于不同的两点A，B，且弦AB中点的纵坐标为2，求k的值．

难度：中等

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7．到两定点F₁（-1，0），F₂（1，0）距离之和为2的点的轨迹的长度为．

难度：中等

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8．平面直角坐标系xOy中，曲线C₁上的动点M到点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1．
（1）求曲线C₁方程；
（2）设P为C₁上一点（位于y轴右侧），过P作C₁的切线，与x轴交于A．直线AB与圆C2：x²+（y-1）²=1相切于点B（异于点O），问△PAB与△PAO的面积之比是否为定值？若是，求出该比值；若不是，说明理由．

难度：中等

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9．已知M是以点C为圆心的圆（x+1）²+y²=16上的动点，定点D（1，0），点H在DM上，点N在CM上，且满足
DM
=2
DH
，
NH
•
DM
=0，动点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点N（4，0）的直线l与轨迹E及单位圆x²+y²=1自右向左依次交于点P、Q、R、S，若|PQ|=|RS|，则这样的直线l共有几条？请证明你的结论．
（3）设直线x=my+1（m≠0）与椭圆E交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为A′．试问：当m变化时直线A′B与x釉是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

难度：中等

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10．已知线段AB的端点B（4，6），端点A在圆（x-4）²+y²=100上移动．
（1）若线段AB的中点为M，那么点M的轨迹C是什么曲线
（2）若直线l：mx-y+1-m=0，求直线1被曲线C截得的最长和最短的弦的长及此时m的值．

难度：中等

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