知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点F（1，0），点P为平面内的动点，过点P作直线l：x=-1的垂线，垂足为Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设点P的轨迹C与x轴交于点M，点A，B是轨迹C上异于点M的不同的两点，且满足
MA
•
AB
=0，求|
MB
|的最小值．

难度：中等

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2．自平面上一点O引两条射线OA，OB，P在OA上运动，Q在OB上运动且保持|
PQ
|为定值2
2
（P，Q不与O重合）．已知∠AOB=120°，
（1）PQ的中点M的轨迹是的一部分（不需写具体方程）；
（2）N是线段PQ上任-点，若|OM|=1，则
OM
•
ON
的取值范围是．

难度：较难

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3．若动点M到定点A（0，1）与定直线l：y=3的距离之和为4．
（1）求点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；
（2）记（1）得到的轨迹为曲线C，问曲线C上关于点B（0，t）（t∈R）对称的不同点有几对？请说明理由．

难度：较难

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4．已知圆O：x²+y²=9，点A（2，0），点P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是．

难度：中等

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5．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，
3
），（0，-
3
），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．
（1）求顶点C的轨迹M的方程，并判断轨迹M为何种曲线；
（2）当m=-
3
4
时，点P（1，t）为曲线M上点，且点P为第一象限点，过点P作两条直线与曲线M交于E，F两点，直线PE，PF斜率互为相反数，则直线EF斜率是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．

难度：中等

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6．若圆C的方程为（x-3）²+（y-1）²=9与直线斜率为1的直线m交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，
（1）求直线m的方程；
（2）若过点T（1，3）的直线l与圆C交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，求M的轨迹方程．

难度：中等

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7．在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x²+y²=4上一动点．PD⊥x轴于点D，记满足
OQ
=
1
2
（
OP
+
OD
）的动点Q的轨迹为C
（1）求轨迹C的方程
（2）过原点O的直线l与曲线C交于M，N两点，A（-1，-
1
2
）是一定点，求△MAN面积的最大值．

难度：中等

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8．已知圆O为单位圆：x²+y²=1，点A（1，0），B为单位圆上的动点，如图，以AB为边作正方形ABCD，求动点D的轨迹方程及OD的取值范围．

难度：中等

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9．到点（-4，0）与到直线x=-
25
4
的距离之比为
4
5
的动点的轨迹方程是．

难度：中等

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10．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F₂（1，0），且经过点（1，
3
2
）直线l：x+2y-8=0
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值及此时点P的坐标；
（3）过点E（0，1）的直线m与椭圆C交于不同的两点A，B，若
OM
=
1
4
（
OA
+
OB
），O为坐标原点，求点M的轨迹方程．

难度：中等

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