知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．
（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；
（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．

难度：较难

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2．已知直线l的参数方程是
x=
2
2
t
y=
2
2
t+4
2
（t是参数），⊙C的极坐标方程为ρ=2
2
cos(θ+
π
4
)．
（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；
（Ⅱ）试判断直线l与⊙C的位置关系．

难度：中等

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3．如图所示，点N在圆O：x²+y²=8上，点D是N在x轴上投影，M为DN上一点，且满足
DN
=
2
DM
．
（Ⅰ）当点N在圆O上运动时，求点M的轨迹C的方程．
（Ⅱ）过F（2，0）不与坐标轴垂直的直线交曲线C于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线交x轴于点E，试判断
|EF|
|PQ|
是否为定值？若是定值，求此定值；若不是定值，请说明理由．

难度：中等

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4．（2015春•启东市校级期中）已知圆C过点p（1，1），且与圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（1）求圆C的方程．
（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，求证：直线OP与直线AB平行．

难度：中等

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5．已知方程x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

难度：较难

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6．已知动点P（x，y）及两定点A（-3，0）和B（3，0），若
|PA|
|PB|
=2，（|PA|、|PB|分别表示点P与点A、B的距离）
（1）求动点P的轨迹Γ方程．
（2）动点Q在直线y-x-1=0上，且QM、QN是轨迹Γ的两条切线，M、N是切点，C是轨迹Γ中心，求四边形OMCN面积的最小值及此时直线MN的方程．

难度：中等

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7．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（-1，0）．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）求点P到直线l的距离的最大值；
（3）设点P在直线l上的射影为点M，N的坐标为（2，1），求线段MN长的取值范围．

难度：中等

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8．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为
AP
PB
=
1
2
，求此时直线l的方程．

难度：较难

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9．设P是圆O：x²+y²=1的一点，以x轴的非负半轴为始边，OP为终边的角记为θ（0≤θ＜2π），又向量
e
=（
3
，-1），且f（θ）=
e
•
OP
．
（1）求f（θ）的单调减区间；
（2）若关于θ的方程f（θ）=2sinα在[
π
3
，
5π
3
）内有两个不同的解，求a的取值范围．

难度：中等

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10．已知⊙O：x²+y²=20与⊙C关于直线l：y=2x+5对称．
（1）求⊙C方程；
（2）判断两圆是否相交，若两圆相交，试求⊙O被公共弦分割成的两段弧长；若不相交，则说明理由．

难度：较易

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